luogu3225 [HNOI2012]矿场搭建

题目大意

　　给出一个有$n(n\leq 500)$个节点的无向图，一个满足条件的点集$V$会使得对于图中的每一个节点$u$，满足路径起点为$u$终点$v\in V$的路径集合$P_u$中总存在至少两条路径$p_1,p_2$，使得该两条路径除了起点外没有交集（终点也不同）。输出$|V|$的最小值，以及$|V|$最小时$V$的种类数。

题解

　　对于一个点双连通分量中的任意一对点都有两条路径到达对方，所以我们从点双连通分量入手。

　　特殊情况：当一个点双连通分量中没有割点时，根据题目要求，这个点双连通分量中需要有两个点属于$V$。

　　若把所有点双连通分量缩点形成一棵树，那么树必定会有叶子节点。所以我们考虑当一个点双连通分量有一个割点时该怎么办。考虑到去掉的点是割点的情况，每个叶子双联通分量内必需有一个点$t$属于$V$；若去掉的点位于所在连通分量以外的部分，双连通分量内的点都与$t$连通；若去掉的点在双连通分量以内且不属于割点，那么双连通分量内的其它点到割点必然存在一条路径，而割点必然与其它叶子双连通分量相连通，那里有属于$V$的点。因此，所有叶子双连通分量内必须有且只有一个点属于$V$。

　　若一个点双连通分量不是叶子，那么无论去掉哪个点，这个点双连通分量总与叶子连通，那里有属于$V$的点，所以这里的点双连通分量没有属于$V$的点。

　　关于根节点的特判，将根节点所在的点双连通分量记录下来，在Dfs外面对根节点进行特殊处理即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cassert>
using namespace std;

const int MAX_NODE = 510;

struct Node
{
    vector<Node*> Next;
    int DfsN, Low;
    bool IsCut;
}_nodes[MAX_NODE];
stack<Node*> St;

struct Block
{
    int NodeCnt, CutCnt;
}_blocks[MAX_NODE];
int BlockCnt;
int DfsCnt;
vector<Block*> RootIn;

void DeStack(Node *end, Node *add)
{
    BlockCnt++;
    Node *temp;
    do {
        temp = St.top();
        St.pop();
        _blocks[BlockCnt].NodeCnt++;
        _blocks[BlockCnt].CutCnt += temp->IsCut;
    } while (temp != end);
    _blocks[BlockCnt].NodeCnt++;
    _blocks[BlockCnt].CutCnt += add->IsCut;
}

int Dfs(Node *cur)
{
    cur->Low = cur->DfsN = ++DfsCnt;
    St.push(cur);
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < cur->Next.size(); i++)
    {
        if (!cur->Next[i]->DfsN)
        {
            Dfs(cur->Next[i]);
            cur->Low = min(cur->Low, cur->Next[i]->Low);
            if (cur->Next[i]->Low >= cur->DfsN)
            {
                cnt++;
                if (cur != _nodes + 1)
                    cur->IsCut = true;
                DeStack(cur->Next[i], cur);
                if (cur == _nodes + 1)
                    RootIn.push_back(_blocks + BlockCnt);
            }
        }
        else
            cur->Low = min(cur->Low, cur->Next[i]->DfsN);
    }
    return cnt;
}

void Clear()
{
    for (int i = 1; i < MAX_NODE; i++)
    {
        _nodes[i].Low = _nodes[i].DfsN = _nodes[i].IsCut = 0;
        _nodes[i].Next.clear();
        _blocks[i].CutCnt = _blocks[i].NodeCnt = 0;
    }
    RootIn.clear();
    BlockCnt = 0;
    DfsCnt = 0;
}

int main()
{
    int totEdge, caseCnt = 0;
    while (scanf("%d", &totEdge) && totEdge)
    {
        Clear();
        for (int i = 1; i <= totEdge; i++)
        {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            _nodes[u].Next.push_back(_nodes + v);
            _nodes[v].Next.push_back(_nodes + u);
        }
        int rootBlockCnt = Dfs(_nodes + 1);
        if (rootBlockCnt > 1)
        {
            _nodes[1].IsCut = true;
            for (int i = 0; i < RootIn.size(); i++)
                RootIn[i]->CutCnt++;
        }
        while (!St.empty())
            St.pop();
        int exitCnt = 0;
        long long solCnt = 1;
        for (int i = 1; i <= BlockCnt; i++)
        {
            if (_blocks[i].CutCnt == 0)
            {
                assert(BlockCnt == 1);
                exitCnt = 2;
                solCnt = (long long)_blocks[i].NodeCnt * (_blocks[i].NodeCnt - 1) / 2;
            }
            else if (_blocks[i].CutCnt == 1)
            {
                exitCnt++;
                solCnt *= (_blocks[i].NodeCnt - _blocks[i].CutCnt);
            }
        }
        printf("Case %d: %d %lld\n", ++caseCnt, exitCnt, solCnt);
    }
    return 0;
}