题目大意

  给出一个有$n(n\leq 500)$个节点的无向图,一个满足条件的点集$V$会使得对于图中的每一个节点$u$,满足路径起点为$u$终点$v\in V$的路径集合$P_u$中总存在至少两条路径$p_1,p_2$,使得该两条路径除了起点外没有交集(终点也不同)。输出$|V|$的最小值,以及$|V|$最小时$V$的种类数。

题解

  对于一个点双连通分量中的任意一对点都有两条路径到达对方,所以我们从点双连通分量入手。

  特殊情况:当一个点双连通分量中没有割点时,根据题目要求,这个点双连通分量中需要有两个点属于$V$。

  若把所有点双连通分量缩点形成一棵树,那么树必定会有叶子节点。所以我们考虑当一个点双连通分量有一个割点时该怎么办。考虑到去掉的点是割点的情况,每个叶子双联通分量内必需有一个点$t$属于$V$;若去掉的点位于所在连通分量以外的部分,双连通分量内的点都与$t$连通;若去掉的点在双连通分量以内且不属于割点,那么双连通分量内的其它点到割点必然存在一条路径,而割点必然与其它叶子双连通分量相连通,那里有属于$V$的点。因此,所有叶子双连通分量内必须有且只有一个点属于$V$。

  若一个点双连通分量不是叶子,那么无论去掉哪个点,这个点双连通分量总与叶子连通,那里有属于$V$的点,所以这里的点双连通分量没有属于$V$的点。

  关于根节点的特判,将根节点所在的点双连通分量记录下来,在Dfs外面对根节点进行特殊处理即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <stack>
#include <cassert>
using namespace std; const int MAX_NODE = 510; struct Node
{
vector<Node*> Next;
int DfsN, Low;
bool IsCut;
}_nodes[MAX_NODE];
stack<Node*> St; struct Block
{
int NodeCnt, CutCnt;
}_blocks[MAX_NODE];
int BlockCnt;
int DfsCnt;
vector<Block*> RootIn; void DeStack(Node *end, Node *add)
{
BlockCnt++;
Node *temp;
do {
temp = St.top();
St.pop();
_blocks[BlockCnt].NodeCnt++;
_blocks[BlockCnt].CutCnt += temp->IsCut;
} while (temp != end);
_blocks[BlockCnt].NodeCnt++;
_blocks[BlockCnt].CutCnt += add->IsCut;
} int Dfs(Node *cur)
{
cur->Low = cur->DfsN = ++DfsCnt;
St.push(cur);
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < cur->Next.size(); i++)
{
if (!cur->Next[i]->DfsN)
{
Dfs(cur->Next[i]);
cur->Low = min(cur->Low, cur->Next[i]->Low);
if (cur->Next[i]->Low >= cur->DfsN)
{
cnt++;
if (cur != _nodes + 1)
cur->IsCut = true;
DeStack(cur->Next[i], cur);
if (cur == _nodes + 1)
RootIn.push_back(_blocks + BlockCnt);
}
}
else
cur->Low = min(cur->Low, cur->Next[i]->DfsN);
}
return cnt;
} void Clear()
{
for (int i = 1; i < MAX_NODE; i++)
{
_nodes[i].Low = _nodes[i].DfsN = _nodes[i].IsCut = 0;
_nodes[i].Next.clear();
_blocks[i].CutCnt = _blocks[i].NodeCnt = 0;
}
RootIn.clear();
BlockCnt = 0;
DfsCnt = 0;
} int main()
{
int totEdge, caseCnt = 0;
while (scanf("%d", &totEdge) && totEdge)
{
Clear();
for (int i = 1; i <= totEdge; i++)
{
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
_nodes[u].Next.push_back(_nodes + v);
_nodes[v].Next.push_back(_nodes + u);
}
int rootBlockCnt = Dfs(_nodes + 1);
if (rootBlockCnt > 1)
{
_nodes[1].IsCut = true;
for (int i = 0; i < RootIn.size(); i++)
RootIn[i]->CutCnt++;
}
while (!St.empty())
St.pop();
int exitCnt = 0;
long long solCnt = 1;
for (int i = 1; i <= BlockCnt; i++)
{
if (_blocks[i].CutCnt == 0)
{
assert(BlockCnt == 1);
exitCnt = 2;
solCnt = (long long)_blocks[i].NodeCnt * (_blocks[i].NodeCnt - 1) / 2;
}
else if (_blocks[i].CutCnt == 1)
{
exitCnt++;
solCnt *= (_blocks[i].NodeCnt - _blocks[i].CutCnt);
}
}
printf("Case %d: %d %lld\n", ++caseCnt, exitCnt, solCnt);
}
return 0;
}

  

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