驳 GarbageMan 的《一个超复杂的简介递归》——对延迟计算的实验和思考

这是一篇因骂战而起的博文，GarbageMan 在该文章回复中不仅对我进行了侮辱，还涉及了我的母校，特写此文用理性的分析和实验予以回击。

在此也劝告 GarbageMan，没什么本事就别在那叫嚣了，还写什么《C语言初学者代码中的常见错误与瑕疵》，误人子弟。

完整的实验代码点这里下载。使用方法见实验环境一节。

本文需要一些基本的数论知识。本人对于数论没有详细而深入的研究，部分表述有可能不严谨或不正确，如有发现，还请指正。

预备知识

素数，又称质数，指除了 1 和该整数自身外，无法被其他正整数整除的正整数。

素数定理表明，从不大于 n 的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是 1/ln n 。

Eratosthenes 筛法。给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

试除法。尝试从到的整数是否整除。

问题描述

GarbageMan 给出的问题原题在这里。在此对问题的本质进行简述：

任意给定一个正整数 n，求与 n 的差的绝对值最小的素数。若 n 是一个素数，则输出 n 自身；若有两个素数符合条件，则输出其中较大的一个。

根据我和 GarbageMan 在留言中的讨论，还要补充以下几点：

1. 该题有两种模式，一种是只考虑一次问答的情况，另一种是考虑连续问答。
2. 题目中会事先给定 n 的取值范围。

GarbageMan 所用算法分析

GarbageMan 在这篇文章中所用的算法本质上是试除法的一个变种，其改变有两点：

1. 维持一个从到的素数表，在验证一个正整数是否是素数时，只需用素数表中的数进行验证即可，而无需使用从到的所有整数。
2. 延迟计算。实现并不计算素数表，而是在用到的时候，按需进行计算。这样在单次问答中就不需要准备整张素数表，而只需要计算需要的部分即可。

首先肯定一下，GarbageMan 的思路是正确的：在给定的 n 附近由近及远的进行素数判定，直到找到一个素数为止。

那么我为什么会和 GarbageMan 在留言中吵起来，以至于 GarbageMan 对我进行人身攻击呢？这是因为 GarbageMan 在这个算法中使用延迟计算的方法，将素数表的计算推迟到提问之后按需进行计算。这一优化本来无可厚非，但是问题就出在他这篇文章的副标题是“C语言初学者 代码中的常见错误与瑕疵”。我认为，这样的优化意义不大，并且凭空增加了许多代码复杂性。另一方面，尽管作者声明了“本文讨论的并不是初学者代码中的常见 错误与瑕疵，而是对我自己代码的改进和优化”，但是顶着这样的标题写这样的内容，也有些欠妥。下面分两种情况讨论更好、更常见、代码更简洁易懂的方案。

改进方案分析

该问题有两种模式，一种是只考虑一次问答的情况，另一种是考虑连续问答。两种截然不同的模式会导致不同的算法设计。

如果只考虑一次问答的情况，Rabin-Miller 素数测试会成为一个更好的方案。因为 Rabin-Miller 素数测试可以被用于测试一个非常非常大的整数是否是一个素数，并且还不需要计算素数表，所以对于较大规模的数据，Rabin-Miller 素数测试比朴素的试除法效率更高。

如果考虑多次问答的情况，考虑平均情况，延迟计算最终也会计算出大部分的素数表。与其动态的不断补充素数表，还不如用更有效率的方法直接计算出整张素数表，所以对于这种情况，GarbageMan 的优化是毫无意义的。

下面将分别讨论上面提到的几种算法。

Rabin-Miller 素数测试

Rabin-Miller 素数测试，是一种素数判定法则，利用随机化算法判断一个数是合数还是可能是素数。

听起来像是一个不靠谱的算法，但是该算法可以以任意给定的准确率给出可能正 确的答案。当这个准确率足够大时，我们可以近似的认为这个算法给出的答案正确。（这一点遭到了 GarbageMan 的疯狂嘲讽，我猜他不知道为什么无穷大的倒数等于 0）对此算法仍然不放心的话，已经有结论表明，如果 n < 4,759,123,141 的话，只需验证 a = 2, 7, and 61 的情况，就可以确定性的给出 n 是否是一个素数。该算法的伪代码如下：

Input: n > 3, an odd integer to be tested for primality;
Input: k, a parameter that determines the accuracy of the test
Output: composite if n is composite, otherwise probably prime
write n − 1 as 2s·d with d odd by factoring powers of 2 from n − 1
WitnessLoop: repeat k times:
   pick a random integer a in the range [2, n − 2]
   x ← ad mod n
   if x = 1 or x = n − 1 then do next WitnessLoop
   repeat s − 1 times:
      x ← x2 mod n
      if x = 1 then return composite
      if x = n − 1 then do next WitnessLoop
   return composite
return probably prime

有关 Rabin-Miller 素数测试是否真的比通过试除法检验素数快，我们暂且将这一问题留待实验结果说明。下面我们讨论多次问答情况下的算法设计。

积极计算

GarbageMan 自鸣得意的一个优化就是延迟计算素数表。在我看来，这是一个完全没有必要的，并且极大地增加了代码复杂度的优化。在多次问答的情况下，最坏情况下如论如何 都需要计算整张素数表用于之后的试除法检验素数。这样，延迟计算所节省的计算量，完全抵不过复杂代码所带来的负面效果。

我的建议是，使用初始化方法预先计算从 [2, log MAX_N] 之间的素数，然后再用 GarbageMan 的 get_nearest 方法进行计算。在问答量比较大时，这种方法甚至会比 GarbageMan 优化过的算法还要快。

素数筛法

素数筛法是用于计算素数表的快速方法，其效率比朴素的通过试除法发现素数然后再添加到素数表中，要快得多。素数筛法已经十分先进了，甚至有亚线性时间复杂度的算法，因此，在实现生成素数表的情况下，没有理由不选择素数筛法。

由于这样一个事实——素数的个数随着数量级的增大而变得越来越稀疏（参考预备知识中的素数定理），当题目中给定的 n 非常大时，在 n 的附近寻找一个素数将变得越来越没有效率。对此，我建议在计算素数表的时候，直接计算到比 n 的上限还要大的一个素数之后再停止生成素数表，然后通过二分查找，直接确定给定的 n 在素数表中的位置，从而找到距离 n 最近的素数。

算法的思路至此介绍完毕，下面将设计实验来验证我的想法是否正确。

实验设计

由于题目分为两种情况，我的算法设计也分别针对这两种情况，因此在做实验进行对比的时候，也将分别设计实验。

实验的思路如下：

1. 生成在 [1, MAX_N] 上均匀分布的若干随机数，并记录下来备用；
2. 将这些随机数使用 GarbageMan 的方法进行计算，收集答案，并且统计用时；
3. 将这些随机数使用我上面提出的几种方法进行计算，收集答案，并且统计用时；
4. 验证这些不同算法答案是否相同，即确保算法的正确性；
5. 比对不同算法的用时。

严密的验证需要多次重复试验不同的数据规模，并且排除其他因素的干扰。由于实验环境的限制，我将只进行一种中等数据规模的测试，得出的实验结果不严密，但是足以说明问题。

实验分别比较在单次问答模式下，GarbageMan 所用算法和 Rabin-Miller 算法的用时；在多次问答模式下，GarbageMan 所用算法和其他算法的用时。其中，在多次问答模式下，需要对 GarbageMan 所用的算法进行一些微调，以保证测试的公平性和正确性：

1. 将 get_nearest 方法中的 Node * head = NULL; 语句挪到 get_nearest 方法外面，并加上 static 标识符；
2. 删除掉 get_nearest 方法中的 my_free(head); 一句；
3. 修改 get_remainder 方法中的 if 语句判断条件为 if ((x != p->prime) && (x % p->prime == 0))。

前两条修改意在重用已经计算好的素数表；第三条修改是在判断素数表中已有素数时，会产生错误的结果。

实验环境

• CPU : Intel Core Duo P7450 2.13GHz
• Windows 7 64bit
• Visual Studio 2013

编译选项 /STACK:10485760,1048576 /O2

完整的实验代码点这里下载。

给出的测试代码依赖于 C++11 标准中提供的随机数生成函数，因此只能在 Visual Studio 2013 和较新版本的 g++，clang++ 上不需要修改的通过编译。使用较低版本的编译器编译时，可以结合 boost 库提供的支持，进行有限的修改后通过编译。 如果使用 g++ 或者 clang++ 进行编译的话，请使用参数 -O2 -std=c++11。

实验结果

当设定 n 的范围在 [1, 10^6 - 10]，且生成 50,000 个随机数时，多次问答模式下的测试结果如下：

Elapsed : 3900005ms    // GarbageMan 的方法
Elapsed : 500001ms     // 积极计算的方法
Elapsed : 2890109ms    // Rabin-Miller 算法
Elapsed : 270015ms     // 素数筛法和二分查找

再测一次：

Elapsed : 3920017ms    // GarbageMan 的方法
Elapsed : 500001ms     // 积极计算的方法
Elapsed : 2800004ms    // Rabin-Miller 算法
Elapsed : 300001ms     // 素数筛法和二分查找

由大数定律可知，GarbageMan 的算法在平均情况下运行效率较低，并且低于积极计算的方法，可见不仅白优化了，还起到了负面效果。

由于实验结果显示，在多次问答模式下 GarbageMan 的算法运行效率仍然低于为单次问答模式所设计的 Rabin-Miller 算法，因此没有必要再进行单次问答模式的实验。

GarbageMan 多次对我进行人身攻击，并且侮辱我的母校。在此我要说一句，GarbageMan 你真是人如其名——渣男，人品渣，技术也渣。

结论

延迟计算是一个重要的概念，有着很多有趣的用法，尤其是 Haskell 语言中内建支持延迟计算，有很多利用这一特性的优美代码。

但是应该知道，延迟计算是有代价的，如果不能通过延迟计算节省足够的计算量，使用延迟计算在运行速度上就得不偿失。尤其是使用不“天然”支持延迟计 算特性的语言时（比如说 C 语言），更加需要谨慎的使用延迟计算特性，否则不仅达不到优化的目的，反而使代码变得复杂难以理解，运行效率降低。

参考资料

• 维基百科——素数
• 维基百科——素数定理
• 互动百科——质数表
• 维基百科——Eratosthenes 筛法
• 维基百科——素性测试
• 维基百科——Rabin-Miller 素数测试
• 维基百科——大数定律
• 维基百科——Sieve of Atkin