破圈法求解最小生成树c语言实现（已验证）

破圈法求解最小生成树c语言实现（已验证）

下面是算法伪代码，每一个算法都取一个图作为输入，并返回一个边集T。

对该算法，证明T是一棵最小生成树，或者证明T不是一棵最小生成树。此外，对于每个算法，无论它是否能计算出一棵最小生成树，都要给出其最有效的实现。

MAYBE-MST-A(G，w)

Sort the edges into nonincreasing order of edge weights w

T<-E

For each edge e, taken in nonincreasing order by weight

Do if T-{e} is a connected graph

    Then T<-T-e

Return T

算法基本思想：

先将图G的边按照权的递减顺序排列后，依次检验每条边，在保持连通的情况下，每次删除最大权边，直到所有边都被遍历到无法删除任何一边（或余下n-1条边为止）。

证明：

生成树证明：

1、     如果给定连通图G没有回路，那么G本身就是一棵生成树

2、     如果G中只有一个回路，则删去G的回路上的一条边（不删除节点），则产生的图仍是连通的且没有回路，则得到的子图就是G的一棵生成树；

3、     如果G的回路不止一个，只要删去每一个回路上的一条边，知道G的子图是连通且没有回路且与图G有一样的结点集，那么这个子图就是一棵生成树。

4、     重复步骤3，则直到所有边都不能删除，由于删除判断条件，得到的子图就是一棵生成树。

MST证明：

若在某个回路C中有一条唯一的最长边，则T_­­­^*中一定不含这条边，因为优先删除回路中最长的边。

若在某个边e的割集中有一条唯一一条最短边，则T^*中一定含有这条边（The Cut Property：考虑图G中的一条边e。如果存在一个cut(A,B)，使得e是所有跨越该割的所有边中权重最小者，则e一定在G的MST中。

），且不含有其他边，因为一旦含有其他边就构成了回路（Lonely-Cut Corollary：如果边e是跨越了cut(A, B)的唯一一条边,则e不可能在任一圈中。）。

反向证明：假设T^*中跨越cut（A,B）的边不只一条，则在算法结束之前一定会遍历到其中的成圈的边（Double-Crossing），根据权值选取方法和删除圈的一边仍为连通图的条件，一定会将权值较大的边删除，直到无环且剩下的唯一一条边是最短边。

算法变量：

a[n][n]:带权图的邻接矩阵,a[i][j]=w或a[i][j]=0；

max:标记当前找到的准备删去的边的权值；

p:标记找到的要删去的权值所在的行号；

q:标记找到的要删去的权值所在的列好；

am：标记找到的最大元素（am是为了保护权值大但不能删的边），如果a[i][j]不能删除，则可以让a[p][q]=am，a[q][p]=am来还原刚才删去的边；

I,j:二维数组的行号和列号

sm:图的边数，每删除一个边，sm就减1，当sm=n-1时，结束

wt：最小生成树的权值和

算法实现（c语言）

 #include<stdio.h>
    BY Yuanshuai Zheng,UESTC
 #define n 5
 int a[n][n];
 int flag,am,p,q;
 INPUT()
 {
     int i,j;
     printf("输入图的带权邻接矩阵：\n");
     for(i = ;i<n;i++)
     {
         for(j=;j<n;j++)
         scanf("%d",&a[i][j]);
     }
  }
  OUTPUT(int a[n][n])
  {
      int i,j;
      for(i=;i<n;i++)
      {
          for(j=;j<n;j++)
          printf("%5d",a[i][j]);
          printf("\n");
      }
  }
  MAX(int a1[n][n],int am1,int p1,int q1)
  {
      int i,j,ptm,qtm;
      int max;
      max = ;
      for(i=;i<n;i++)
      {
          for(j=i;j<n;j++)
          if((a1[i][j]>max)&&(a1[i][j]<=am1)&&((i!=p1)||(j!=q1)))
          {
              max = a1[i][j];
              ptm = i;
              qtm = j;

         }
      }
     am = max;
     printf("max=%5d\t",am);
      p = ptm;
      q = qtm;
      a[p][q]=;
      a[q][p]=;
  }
  WSHALL(int array[n][n])
  {
      int i,j,k,m=;
      int r[n][n],B[n][n];
      for(i=;i<n;i++)
      {
          for(j=;j<n;j++)
          {
              r[i][j]=;
              B[i][j]=array[i][j];
              //分界线
              if(array[i][j]>=)
                 B[i][j]=;
             else
                 B[i][j]=;
             //分界线
          }
      }
     for(j=;j<n;j++)
     {
         for(i=;i<n;i++)
             if(B[i][j]>=)
                 {
                     for(k=;k<n;k++)
                         {
                             if(B[k][i]>=)
                             {
                                 B[k][j]=B[j][k]=;
                             }
                         }
                 }
     }
     for(i=;i<n;i++)
     {
         for(j=;j<n;j++)
             if(!B[i][j])
             {
                 return ;
             }
     }
     return ;
 }

 //方法1
 //        for(k=0;k<n;k++)
 //        B[i][j]=B[i][k]+B[j][k];
 //        }
 //    }
 //    for(i=0;i<n;i++)
 //    {
 //        for(j=0;j<n;j++)
 //        {
 //            r[i][j]=B[i][j];
 //            {
 //                if((r[i][j]>=1)||(i==j))
 //                    m=m+1;
 //            }
 //        }
 //    }
 //    printf("m=%d\t",m);
 //    if(m==n*n)
 //        flag = 1;
 //    else
 //        flag=0;
 //    return(flag);

 int main()
 {
     int i,j,sm,wt=;
     am = ,p=-,q=-,sm=;
     INPUT();
     for(i=;i<n;i++)
     {
         for(j=i;j<n;j++)
         {
             if(a[i][j]>)
                 sm = sm+;
         }
     }
     printf("\nsm=%d\n",sm);
     printf("输出图的带权邻接矩阵：\n");
     OUTPUT(a);
     printf("\n");
     while(sm>n-)
     {
         MAX(a,am,p,q);
         flag=WSHALL(a);//华沙尔算法判断是否连通
         //printf("flag= %d",flag);
         {
             if(flag==)
             {
                 sm=sm-;
                 //printf("flag= %d",flag);
             }
             else
             {
                 a[p][q]=am;
                 a[q][p]=am;
             }
         }
     }
     for(i=;i<n;i++)
     for(j=i;j<n;j++)
     {
         wt=wt+a[i][j];
     }
     printf("\n\n输出最小生成树的带权邻接矩阵：\n");
     OUTPUT(a);
     printf("最小生成树的树权是: %d\n",wt);
 }
      

代码验证：

例子：

0

6

10

0

0

6

0

3

8

5

10

3

0

6

7

0

8

6

0

0

0

5

7

0

0