CodeForces 553E Kyoya and Train 动态规划 多项式 FFT 分治

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题目传送门 - CodeForces 553E

题意

　　一个有$n$个节点$m$条边的有向图，每条边连接了$a_i$和$b_i$，花费为$c_i$。

　　每次经过某一条边就要花费该边的$c_i$。

　　第$i$条边耗时为$j$的概率为$p_{i,j}$。

　　现在你从$1$开始走到$n$，如果你在$t$单位时间内（包括$t$）到了$n$，不需要任何额外花费，否则你要额外花费$x$。

　　问你在最优策略下的期望花费最小为多少。

　　（注意你每走一步都会根据当前情况制定最好的下一步）

　　$$n\leq 50 ,m \leq 100, t\leq 20000, x\leq 10^6$$

题解

　　毛爷爷论文题。

　　放上毛爷爷题解。

　　

　　我稍微加了点修改。

　　于是我是不是不用写题解了？？

　　写一下我做这题的感受。

　　首先自己想了好久yy出了一个倍增+$FFT$，复杂度和标算一样（当然好像是错的），然后觉得过不去。

　　然后看标算看到分治，没往下看，继续自己yy，好像会了$2只log$，觉得很神奇，因为两只$log$过不去嘛，所以肯定有神奇的优化。

　　想了很久还是不会，往下一看真的是两只$log$。QAQ。

　　写代码也是难受，看着标算还是写了50分钟。

　　关键是还写挂了。

　　找了好久好久，猛然间发现我在$FFT$之前的给$A$、$B$数组赋值的时候，两次都赋给了$A$，难怪$FFT$结果一直是$0$，然后一边心态爆炸的吐槽，一边交了一发，还好$1A$了，不然心态更爆炸。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=55,M=105,T=20005,S=1<<15;
double PI=acos(-1.0);
int n,m,t,punish;
int a[M],b[M],c[M],dis[N][N];
double dp[N][T],sum[M][T],p[M][T];
int s,d,Rev[S];
struct C{
	double r,i;
	C(){}
	C(double a,double b){r=a,i=b;}
	C operator + (C x){return C(r+x.r,i+x.i);}
	C operator - (C x){return C(r-x.r,i-x.i);}
	C operator * (C x){return C(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);}
}w[S],A[S],B[S];
void FFT(C a[],int n){
	for (int i=0;i<n;i++)
		if (i<Rev[i])
			swap(a[i],a[Rev[i]]);
	for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
		for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))
			for (int j=0;j<d;j++){
				C tmp=w[t*j]*a[i+j+d];
				a[i+j+d]=a[i+j]-tmp;
				a[i+j]=a[i+j]+tmp;
			}
}
void solve(int L,int R){
	if (L==R){
		for (int e=1;e<=m;e++)
			dp[a[e]][L]=min(dp[a[e]][L],sum[e][L]+c[e]);
		return;
	}
	int mid=(L+R)>>1;
	solve(mid+1,R);
	//sum[e][L...mid]+=dp[mid+1...R]#p[e][1...R-L]
	//sum[e][L...mid]+=dp[mid+1...R]*p[e][R-L-1...0]
	for (s=1,d=0;s<R-mid+R-L;s<<=1,d++);
	for (int i=0;i<s;i++){
		Rev[i]=(Rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
		w[i]=C(cos(2*i*PI/s),sin(2*i*PI/s));
	}
	for (int e=1;e<=m;e++){
		for (int i=0;i<s;i++)
			A[i]=B[i]=C(0,0);
		for (int i=mid+1;i<=R;i++)
			A[i-mid-1]=C(dp[b[e]][i],0);
		for (int i=1;i<=R-L;i++)
			B[R-L-i]=C(p[e][i],0);
		FFT(A,s),FFT(B,s);
		for (int i=0;i<s;i++)
			A[i]=A[i]*B[i],w[i].i*=-1.0;
		FFT(A,s);
		for (int i=0;i<s;i++)
			A[i].r/=s,w[i].i*=-1.0;
		for (int i=L;i<=mid;i++)
			sum[e][i]+=A[i-mid-1+(R-L)].r;
	}
	solve(L,mid);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&t,&punish);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			dis[i][j]=i==j?0:1e9;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
		dis[a[i]][b[i]]=min(dis[a[i]][b[i]],c[i]);
		for (int j=1;j<=t;j++)
			scanf("%lf",&p[i][j]),p[i][j]/=100000;
	}
	for (int k=1;k<=n;k++)
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=n;j++)
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
	for (int i=0;i<N;i++)
		for (int j=0;j<T;j++)
			dp[i][j]=1e9;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		dp[i][t+1]=punish+dis[i][n];
	for (int i=0;i<=t;i++)
		dp[n][i]=0;
	memset(sum,0,sizeof sum);
	for (int e=1;e<=m;e++){
		double P=0;
		for (int i=1;i<=t;i++){
			P+=p[e][t-i+1];
			sum[e][i]+=P*dp[b[e]][t+1];
		}
	}
	solve(0,t);
	printf("%.8lf",dp[1][0]);
	return 0;
}