2018.06.30 cdq分治

#cdq分治

##一种奇妙的分治方法

• 优点：可以顶替复杂的高级数据结构；常数比较小。
• 缺点：必须离线操作。
  
  CDQ分治的基本思想十分简单。如下：

我们要解决一系列问题，包含修改和查询操作，我们将这些问题排成一个序列，用一个区间[L,R]表示。

1. 分。不用多说，递归处理左边区间[L,Mid]和右边区间[Mid+1,R]的问题。
2. 治。核心。合并两个子问题，同时考虑到[L,Mid]内的修改对[Mid+1,R]内的查询产生的影响。即，用左边的子问题帮助解决右边的子问题。

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入门题：二维偏序（求逆序对）：对于每个有序对(a,b)(a,b)(a,b)，有多少个有序对(a2,b2)(a2,b2)(a2,b2)满足a2&lt;aa2&lt;aa2<a且b2&gt;bb2&gt;bb2>b

常规解法：树状数组，线段树。

经典解法：cdq分治。

我们在拿到所有有序对(a,b)(a,b)(a,b)的时候，先把aaa元素从小到大排序。这时候问题就变成了“求顺序对”，因为aaa元素已经有序，可以忽略aaa元素带来的影响，和“求逆序对”的问题是一样的。然后就可以各种乱搞了。

简单题：三维偏序：

BZOJ3262: 陌上花开

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 256 MB

Description

有n朵花,每朵花有三个属性:花形(s)、颜色©、气味(m),用三个整数表示。

现在要对每朵花评级,一朵花的级别是它拥有的美丽能超过的花的数量。

定义一朵花A比另一朵花B要美丽,当且仅Sa>=Sb,Ca>=Cb,Ma>=Mb。

显然,两朵花可能有同样的属性。需要统计出评出每个等级的花的数量。

Input

第一行为N,K (1 <= N <= 100,000, 1 <= K <= 200,000 ), 分别表示花的数量和最大属性值。

以下N行，每行三个整数si, ci, mi (1 <= si, ci, mi <= K)，表示第i朵花的属性

Output

包含N行，分别表示评级为0…N-1的每级花的数量。

Sample Input

10 3

3 3 3

2 3 3

2 3 1

3 1 1

3 1 2

1 3 1

1 1 2

1 2 2

1 3 2

1 2 1

Sample Output

3

1

3

0

1

0

1

0

0

1

常规解法：树套树。

经典解法：cdq分治+树状数组。

如果我们像二维偏序一样排序的话，那么可以保证aaa的有序，只需求b,cb,cb,c的逆序对，这个用树状数组维护即可。

代码如下：

#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define maxn 100010
#define maxk 200010
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(isdigit(ch)==0 && ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
inline void write(int x){
    int f=0;char ch[20];
    if(!x){puts("0");return;}
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;
    while(f)putchar(ch[f--]);
    putchar('\n');
}
typedef struct node{
    int x,y,z,ans,w;
}stnd;
stnd a[maxn],b[maxn];
int n,cnt[maxk];
int k,n_;
bool cmpx(stnd u,stnd v){
    if(u.x==v.x){
        if(u.y==v.y)
            return u.z<v.z;
        return u.y<v.y;
    }
    return u.x<v.x;
}
bool cmpy(stnd u,stnd v){
    if(u.y==v.y)
        return u.z<v.z;
    return u.y<v.y;
}
struct treearray{
    int tre[maxk],kk;
    int lwbt(int x){return x&(-x);}
    int ask(int i){int ans=0; for(;i;i-=lwbt(i))ans+=tre[i];return ans;}
    void add(int i,int k){for(;i<=kk;i+=lwbt(i))tre[i]+=k;}
}t;
void cdq(int l,int r){
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
    sort(a+l,a+mid+1,cmpy);
    sort(a+mid+1,a+r+1,cmpy);
    int i=mid+1,j=l;
    for(;i<=r;i++){
        while(a[j].y<=a[i].y && j<=mid)
            t.add(a[j].z,a[j].w),j++;
        a[i].ans+=t.ask(a[i].z);
    }
    for(i=l;i<j;i++)
        t.add(a[i].z,-a[i].w);
}
int main(){
    n_=read(),k=read();t.kk=k;
    for(int i=1;i<=n_;i++)
        b[i].x=read(),b[i].y=read(),b[i].z=read();
    sort(b+1,b+n_+1,cmpx);
    int c=0;
    for(int i=1;i<=n_;i++){
        c++;
        if(b[i].x!=b[i+1].x || b[i].y!=b[i+1].y || b[i].z!=b[i+1].z )
            a[++n]=b[i],a[n].w=c,c=0;
    }
    cdq(1,n);
    for(int i=1;i<=n;i++)cnt[a[i].ans+a[i].w-1]+=a[i].w;
    for(int i=0;i<n_;i++)write(cnt[i]);
    return 0;
}

---

不难发现，cdq分治起到了一个降维的作用，这在我们处理复杂的问题时有显著的作用。