【题意】求n个点的带标号无向连通图个数 mod 1004535809。n<=130000。

【算法】动态规划+多项式求逆

【题解】设$g_n$表示n个点的无向图个数,那么显然

$$g_n=2^{\frac{n(n-1)}{2}}$$

设$f_n$表示n个点的无向连通图个数,通过枚举1号点所属连通块大小很容易得到$g_n$的等式:

$$g_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n-1}{i-1}*f_i*g_{n-i}$$

特别的,$g_0=1$。

将组合数拆分一下,即可得到:

$$\frac{g_n}{(n-1)!}=\sum_{i=1}^{n}\frac{f_i}{(i-1)!}*\frac{g_{n-i}}{(n-i)!}$$

多项式求逆即可,注意下标从1开始需要强制F(0)=0,以及由于$g_0=1$所以右边额外+1。(这个式子恰好是多项式乘法的形式)

复杂度O(n log n)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
int read(){
char c;int s=,t=;
while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
return s*t;
}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
int ab(int x){return x>?x:-x;}
//int MO(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;}
//void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
/*------------------------------------------------------------*/
const int inf=0x3f3f3f3f,maxn=,MOD=; int n,F[maxn],G[maxn],H[maxn]; int power(int x,int k){int ans=;while(k){if(k&)ans=1ll*ans*x%MOD;x=1ll*x*x%MOD;k>>=;}return ans;}
int inv(int x){return power(x,MOD-);}
int M(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;} void ntt(int *a,int n,int f){
int k=;
for(int i=;i<n;i++){
if(i<k)swap(a[i],a[k]);
for(int j=n>>;(k^=j)<j;j>>=);
}
for(int l=;l<=n;l<<=){
int m=l>>,wn=(~f?power(,(MOD-)/l):power(,MOD--(MOD-)/l));
for(int *p=a;p!=a+n;p+=l){
int w=;
for(int i=;i<m;i++){
int t=1ll*w*p[i+m]%MOD;
p[i+m]=M(p[i]-t+MOD);
p[i]=M(p[i]+t);
w=1ll*w*wn%MOD;
}
}
}
if(f==-){
int o=inv(n);
for(int i=;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*o%MOD;
}
}
int h[maxn];
void pinv(int *f,int *g,int n){
if(n==){g[]=inv(f[]);return;}
pinv(f,g,n>>);n<<=;
for(int i=;i<n/;i++)h[i]=f[i];
//for(int i=n/2;i<n;i++)h[i]=g[i]=0;
ntt(h,n,);ntt(g,n,);
for(int i=;i<n;i++)g[i]=1ll*g[i]*(-1ll*h[i]*g[i]%MOD+MOD)%MOD;
ntt(g,n,-);
for(int i=n/;i<n;i++)g[i]=;//!
}
int fac[maxn],fav[maxn];
int main(){
scanf("%d",&n);n++;
fac[]=;for(int i=;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-]*i%MOD;
fav[n]=inv(fac[n]);for(int i=n;i>=;i--)fav[i-]=1ll*fav[i]*i%MOD;
for(int i=;i<n;i++)H[i]=1ll*power(,1ll*i*(i-)/%(MOD-))*fav[i-]%MOD;
for(int i=;i<n;i++)G[i]=1ll*power(,1ll*i*(i-)/%(MOD-))*fav[i]%MOD;//n change
int N=;while(N<n+n)N<<=;
pinv(G,F,N>>);//n>>1
ntt(H,N,);ntt(F,N,);
for(int i=;i<N;i++)F[i]=1ll*H[i]*F[i]%MOD;
ntt(F,N,-);
printf("%lld",1ll*F[n-]*fac[n-]%MOD);
return ;
}

注意:求逆元的时候传进去一倍即可,里面会再翻倍。逆元每次最后g数组后半部分要清零。n++之后对应的n要改变。

NTT最好预处理omega[],不然NTT太多次会变得很慢,即:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
int read(){
char c;int s=,t=;
while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')t=-;
do{s=s*+c-'';}while(isdigit(c=getchar()));
return s*t;
}
int min(int a,int b){return a<b?a:b;}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
int ab(int x){return x>?x:-x;}
//int MO(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;}
//void insert(int u,int v){tot++;e[tot].v=v;e[tot].from=first[u];first[u]=tot;}
/*------------------------------------------------------------*/
const int inf=0x3f3f3f3f,maxn=,MOD=; int n,F[maxn],G[maxn],H[maxn]; int power(int x,int k){int ans=;while(k){if(k&)ans=1ll*ans*x%MOD;x=1ll*x*x%MOD;k>>=;}return ans;}
int inv(int x){return power(x,MOD-);}
int M(int x){return x>=MOD?x-MOD:x;}
int o[maxn],oi[maxn];
void init(int n){
int x=,y=power(,(MOD-)/n);
for(int i=;i<=n;i++){
o[i]=oi[n-i]=x;
x=1ll*x*y%MOD;
}
}
void ntt(int *a,int n,int *o,int f){
int k=;
for(int i=;i<n;i++){
if(i<k)swap(a[i],a[k]);
for(int j=n>>;(k^=j)<j;j>>=);
}
for(int l=;l<=n;l<<=){
int m=l>>;
for(int *p=a;p!=a+n;p+=l){
for(int i=;i<m;i++){
int t=1ll*o[n/l*i]*p[i+m]%MOD;
p[i+m]=M(p[i]-t+MOD);
p[i]=M(p[i]+t);
}
}
}
if(f==-){
int o=inv(n);
for(int i=;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*o%MOD;
}
}
int h[maxn];
void pinv(int *f,int *g,int n){
if(n==){g[]=inv(f[]);return;}
pinv(f,g,n>>);n<<=;
init(n);
for(int i=;i<n/;i++)h[i]=f[i];
//for(int i=n/2;i<n;i++)h[i]=g[i]=0;//?
ntt(h,n,o,);ntt(g,n,o,);
for(int i=;i<n;i++)g[i]=1ll*g[i]*(-1ll*h[i]*g[i]%MOD+MOD)%MOD;
ntt(g,n,oi,-);
for(int i=n/;i<n;i++)g[i]=;//?
}
int fac[maxn],fav[maxn];
int main(){
scanf("%d",&n);n++;
fac[]=;for(int i=;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-]*i%MOD;
fav[n]=inv(fac[n]);for(int i=n;i>=;i--)fav[i-]=1ll*fav[i]*i%MOD;
for(int i=;i<n;i++)H[i]=1ll*power(,1ll*i*(i-)/%(MOD-))*fav[i-]%MOD;
for(int i=;i<n;i++)G[i]=1ll*power(,1ll*i*(i-)/%(MOD-))*fav[i]%MOD;//!
int N=;while(N<n+n)N<<=;
pinv(G,F,N>>);
init(N);
ntt(H,N,o,);ntt(F,N,o,);
for(int i=;i<N;i++)F[i]=1ll*H[i]*F[i]%MOD;
ntt(F,N,oi,-);
printf("%lld",1ll*F[n-]*fac[n-]%MOD);
return ;
}

这道题有个O(n^2)的递推做法,设$h_n$表示n个点无向不连通图个数,那么$h_n=g_n-f_n$,枚举1所在连通块大小,有:

$$h_n=\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i-1}*f_i*h_{n-i}$$

这个不包含n自己,就可以递推了。

在这里记个无关紧要的笔记……要拆分$2^{k(n-k)}$,乘法不好拆分,必须转化为加法。

其实就是要把nk转化为有关n或k或n-k的加减法的形式,由初中常用套路$nk=\frac{(n-k)^2-n^2-k^2}{2}$就可以了。

【BZOJ】3456: 城市规划 动态规划+多项式求逆的更多相关文章

  1. BZOJ 3456: 城市规划 与 多项式求逆算法介绍(多项式求逆, dp)

    题面 求有 \(n\) 个点的无向有标号连通图个数 . \((1 \le n \le 1.3 * 10^5)\) 题解 首先考虑 dp ... 直接算可行的方案数 , 容易算重复 . 我们用总方案数减 ...

  2. BZOJ 3456 城市规划 ( NTT + 多项式求逆 )

    题目链接: https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 题意: 求出\(n\)个点的简单(无重边无自环)无向连通图的个数.(\(n< ...

  3. BZOJ 3456: 城市规划(dp+多项式求逆)

    传送门 解题思路 这道题就是求带标号的无向连通图个数,首先考虑\(O(n^2)\)的做法,设\(f_i\)表示有\(i\)个节点的无向连通图个数,那么考虑容斥,先把所有的无向图求出,即为\(2^{C( ...

  4. 【BZOJ】3456: 城市规划(多项式求ln)

    题解 在我写过分治NTT,多项式求逆之后 我又一次写了多项式求ln 我们定义一个数列的指数型生成函数为 \(\sum_{i = 0}^{n} \frac{A_{i}}{i!} x^{i}\) 然后这个 ...

  5. 洛谷P4841 城市规划(生成函数 多项式求逆)

    题意 链接 Sol Orz yyb 一开始想的是直接设\(f_i\)表示\(i\)个点的无向联通图个数,枚举最后一个联通块转移,发现有一种情况转移不到... 正解是先设\(g(n)\)表示\(n\)个 ...

  6. 【bzoj3456】城市规划(多项式求逆+dp)

    Description 求\(~n~\)个点组成的有标号无向连通图的个数.\(~1 \leq n \leq 13 \times 10 ^ 4~\). Solution 这道题的弱化版是poj1737, ...

  7. BZOJ3456 城市规划 【多项式求逆】

    题目链接 BZOJ3456 题解 之前我们用分治\(ntt\)在\(O(nlog^2n)\)的复杂度下做了这题,今天我们使用多项式求逆 设\(f_n\)表示\(n\)个点带标号无向连通图数 设\(g_ ...

  8. [BZOJ3456]城市规划(生成函数+多项式求逆+多项式求ln)

    城市规划 时间限制:40s      空间限制:256MB 题目描述 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.  刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一 ...

  9. BZOJ3456 城市规划(多项式求逆)

    设f[i]为连通图的数量,g[i]为不连通图的数量,显然有f[i]=2i*(i-1)/2-g[i],g[i]通过枚举1所在连通块大小转移,有g[i]=Σf[j]*C(i-1,j-1)·2(i-j)*( ...

随机推荐

  1. PAT 甲级 1126 Eulerian Path

    https://pintia.cn/problem-sets/994805342720868352/problems/994805349851185152 In graph theory, an Eu ...

  2. RFC 8446

    https://tools.ietf.org/html/rfc8446#section-2.3 简要内容.. [Docs] [txt|pdf] [draft-ietf-tls-...] [Tracke ...

  3. 【Java线程】SwingWorker的用法

    Swing应用程序员常见的错误是误用Swing事件调度线程(Event DispatchThread,EDT).他们要么从非UI线程访问UI组件:要么不考虑事件执行顺序:要么不使用独立任务线程而在ED ...

  4. 深度学习读书笔记之RBM(限制波尔兹曼机)

    深度学习读书笔记之RBM 声明: 1)看到其他博客如@zouxy09都有个声明,老衲也抄袭一下这个东西 2)该博文是整理自网上很大牛和机器学习专家所无私奉献的资料的.具体引用的资料请看参考文献.具体的 ...

  5. BZOJ3244 NOI2013树的计数(概率期望)

    容易发现的一点是如果确定了每一层有哪些点,树的形态就确定了.问题变为划分bfs序. 考虑怎样划分是合法的.同一层的点在bfs序中出现顺序与dfs序中相同.对于dfs序中相邻两点依次设为x和y,y至多在 ...

  6. P2461 [SDOI2008]递归数列

    题目描述 一个由自然数组成的数列按下式定义: 对于i <= k:ai = bi 对于i > k: ai = c1ai-1 + c2ai-2 + ... + ckai-k 其中bj 和 cj ...

  7. Joseph's Problem UVALive - 3521(等差数列的应用)

    题意:给定n, k,求出∑ni=1(k mod i) 思路:由于n和k都很大,直接暴力是行不通的,然后在纸上画了一些情况,就发现其实对于k/i相同的那些项是形成等差数列的,于是就可以把整个序列进行拆分 ...

  8. 【转】64位Ubuntu 16.04搭建嵌入式交叉编译环境arm-linux-gcc过程图解

    64位Ubuntu 16.04搭建嵌入式交叉编译环境arm-linux-gcc过程图解,开发裸机环境之前需要先搭建其开发环境,毕竟工欲善其事必先利其器嘛.  安装步骤 1.准备工具安装目录 下载 ar ...

  9. 【bzoj2301】 HAOI2011—Problem b

    http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301 (题目链接) 题意 给出${a,b,c,d,k}$,${n}$组询问,求$${\sum_{i= ...

  10. 20165218 《网络对抗技术》Exp2 后门原理与实践

    Exp2 后门原理与实践 准备工作 1. 查看Linux和Win的IP地址,ping通 Linux地址 Win7地址 ping 2.下载ncat并装载到win7主机 3.下载socat并装载到win7 ...