BZOJ2276 [Poi2011]Temperature 【单调队列】

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BZOJ2276

题解

一开始看错题，以为求的是可以不连续的，想出一个奇怪的线段树，发现空间根本开不下？？

题目要我们求连续的最长可能不下降区间

对于区间\([l,r]\)如果合法，当且仅当对于\(\forall i \in [l,r],\forall j < i\)满足\(l[j] <= r[i]\)

所以我们只需维护一个\(l[i]\)递减的单调队列即可

为什么是对的呢？

对于位置\(i\)，显然至少取\(l[i]\)，最多取\(r[i]\)，如果存在\(l[j] > r[i]\)显然就不满足不下降性

我们只需证，只要该条件满足，就一定能构成连续不下降

我们先证，对于一段区间合法的\([l,r]\)，至少能且一定能取到\(max\{l[i]\}\)

可以用数学归纳法证明

对于一个位置的肯定满足

假设\([l,i - 1]\)满足，那么对于位置\(i\)，首先有\(r[i] > max\{l[j]\}\)，所以位置\(i\)一定能接上

假若\(l[i] < max\{l[j]\}\)，那么\(max\{l[j]\}\)依旧能取到

假若\(l[i] >= max\{l[j]\}\)，那么\(l[i]\)变为最大值，且由此一定能取到

所以我们就证明了对于一个合法区间\([l,r]\)，一定能取到\(max\{l[i]\}\)

同时就证明了，只要\(\forall i \in [l,r],\forall j < i\)满足\(l[j] <= r[i]\)，就一定能拼接起来，反之不行

复杂度\(O(n)\)

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 1000005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
int n,l[maxn],r[maxn],v[maxn],q[maxn],head,tail,ans;
int main(){
	n = read(); head = -1; tail = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		l[i] = read(); r[i] = read(); v[i] = 1;
		while (head <= tail && l[q[head]] > r[i]) head++;
		while (head <= tail && l[q[tail]] <= l[i]) v[i] += v[q[tail]],tail--;
		q[++tail] = i;
		ans = max(ans,i - q[head] + v[q[head]]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}