//bzoj上的题面太丑了,导致VJ的题面也很丑,于是这题用洛谷的题面

题面描述

XOR(异或)是一种二元逻辑运算,其运算结果当且仅当两个输入的布尔值不相等时才为真,否则为假。 XOR 运算的真值表如下(\(1\) 表示真, \(0\) 表示假):

而两个非负整数的 XOR 是指将它们表示成二进制数,再在对应的二进制位进行 XOR 运算。

譬如 \(12\) XOR \(9\) 的计算过程如下:

故 \(12\) XOR \(9\) = 5$。

容易验证, XOR 运算满足交换律与结合律,故计算若干个数的 XOR 时,不同的计算顺序不会对运算结果造成影响。从而,可以定义 \(K\) 个非负整数 \(A_1,A_2,……,A_{K-1},A_K\)的 XOR 和为

\(A_1\) XOR \(A_2\) XOR …… XOR \(A_{K-1}\) XOR \(A_K\)

考虑一个边权为非负整数的无向连通图,节点编号为 \(1\) 到 \(N\),试求出一条从 \(1\) 号节点到 \(N\) 号节点的路径,使得路径上经过的边的权值的 XOR 和最大。

路径可以重复经过某些点或边,当一条边在路径中出现了多次时,其权值在计算 XOR 和时也要被计算相应多的次数,具体见样例。

输入格式

输入文件 xor.in 的第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(M\), 表示该无向图中点的数目与边的数目。

接下来 \(M\) 行描述 \(M\) 条边,每行三个整数 \(S_i\), \(T_i\) , \(D_i\), 表示 \(S_i\) 与 \(T_i\) 之间存在一条权值为 \(D_i\) 的无向边。

图中可能有重边或自环。

输出格式

输出文件 xor.out 仅包含一个整数,表示最大的 XOR 和(十进制结果)。

输入输出样例

输入 #1

 5 7
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2

输出 #1

6

说明/提示

【样例说明】

如图,路径\(1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 5\)对应的XOR和为

\(2\) XOR \(1\) XOR \(2\) XOR \(4\) XOR \(1\) XOR \(1\) XOR \(3 = 6\)

当然,一条边数更少的路径\(1 \rightarrow 3 \rightarrow 5\)对应的XOR和也是\(2\) XOR \(4 = 6\)。

【数据规模】

对于 \(20 \%\) 的数据,\(N \leq 100,M \leq 1000,D_i \leq 10^{4}\);

对于 \(50 \%\) 的数据,\(N \leq 1000,M \leq 10000,D_i \leq 10^{18}\);

对于 \(70 \%\) 的数据,\(N \leq 5000,M \leq 50000,D_i \leq 10^{18}\);

对于 \(100 \%\) 的数据,\(N \leq 50000\), \(M \leq 100000\),\(D_i \leq 10^{18}\)。

解题思路

看了题解可知,这题先dfs一遍图,随便找一条从起点到终点的路,求出路上的异或值,同时把所有搜索到的环的异或值全部加入线性基,然后把那条路上的异或值放到线性基里,找能够异或到的最大值,然后就是答案。敷衍

这题的思想有点像我这学期高数刚学的格林公式,不知道的就别管这个词了。我们从那条路起点\(1\)出发,到达路中间的一个点\(x\),然后离开这条路,通过某一段 \(x \rightarrow y\) 走到某个环上的一个点\(y\),然后从点\(y\)开始绕环一周,回到点\(y\),再从点\(y\)通过刚才那段\(y \rightarrow x\) 回到点\(x\),再接着走完那条路剩下的部分\(x\rightarrow n\)。由“异或两次同一个数相当于没有异或”的性质可以知道,\(x\rightarrow y\)和\(y\rightarrow x\)就互相抵消了,于是答案就是\(1\rightarrow n\)的异或值再异或上那个环的异或值。再多走几个环,就再多异或几个环就好。

那么为什么最开始随便选一条路就好呢?是这样:假设存在两条路可以从\(1\)到\(n\),那么因为是无向图,这两条路就成了一个环,我们dfs过程中就会把这个环加入线性基。走了其中一条路,再走这个环,就相当于走了另一条路。

源代码

#include<stdio.h>

const int MAXN=5e5+5,MAXM=4e5+5;
typedef long long ull;
int n,m; struct Edge{
int nxt,to;
ull w;
}e[MAXM<<1];
int cnt=1,head[MAXN];
inline void add(int u,int v,ull w)
{
e[cnt]={head[u],v,w};
head[u]=cnt++;
e[cnt]={head[v],u,w};
head[v]=cnt++;
} ull b[64]={0};//线性基
inline void addb(ull a)
{
for(int i=62;~i;i--)
{
if(a>>i)
{
if(b[i]) a^=b[i];
else
{
b[i]=a;
return;
}
}
}
}
inline ull mx(ull ans)
{
for(int i=62;~i;i--)
if((ans^b[i])>ans) ans^=b[i];
return ans;
}
bool vis[MAXN];
ull dis[MAXN];//从1搜过来的值
void dfs(int u)
{
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
{
int v=e[i].to;
if(vis[v])
addb(dis[v]^dis[u]^e[i].w);
else
{
dis[v]=dis[u]^e[i].w;
dfs(v);
}
}
}
int main()
{
//freopen("test.in","r",stdin);
scanf("%d%d",&n,&m);
while(m--)
{
int u,v;
ull w;
scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
}
dfs(1);
printf("%lld\n",mx(dis[n]));
return 0;
}

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