AT2371 Placing Squares

题解

考虑\(dp\)

\[dp[i]=\sum_{i=0}^{i-1}dp[j]*(i-j)^2
\]

我们可以设\((i-j)\)为\(x\),那么随着\(i\)向右移动一格，每个\(x\)都是会增长\(1\)的。

\[dp[i]=\sum_{i=0}^{i-1}dp[j]*(x+1)^2
\]

\[dp[i]=\sum_{i=0}^{i-1}dp[j]*(x^2+2x+1)
\]

为了转移，我们需要将这三段分开维护。

注意，当没有障碍点的时候，转移需要再加上一个\(dp[i]\)。

转移的时候构造矩阵就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int n,m;
inline ll rd(){
    ll x=0;char c=getchar();bool f=0;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    return f?-x:x;
}
inline void MOD(ll &x){x=x>=mod?x-mod:x;}
struct matrix{
    ll a[3][3];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    inline matrix operator *(const matrix &b)const{
        matrix c;
        for(int i=0;i<3;++i)
            for(int j=0;j<3;++j){
                c.a[i][j]=0;
                for(int k=0;k<3;++k)
                    MOD(c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j]%mod);
            }
        return c;
    }
    inline void print(){
        for(int i=0;i<3;++i){
            for(int j=0;j<3;++j)cout<<a[i][j]<<" ";puts("");
        }
        puts("");
    }
}a1,a2,ans;
inline matrix solve(matrix a,matrix b,int c){
    while(c){
        if(c&1)a=a*b;
        b=b*b;
        c>>=1;
    }
    return a;
}
int main(){
    n=rd();m=rd();
    a1.a[0][0]=1;a1.a[1][0]=1;a1.a[1][1]=1;a1.a[2][0]=1;a1.a[2][1]=2;a1.a[2][2]=1;
    a2=a1;a2.a[0][2]++;a2.a[1][2]++;a2.a[2][2]++;
    ans.a[0][2]=1;
    int x=0,pre=1;
    for(int i=1;i<=m;++i){
        x=rd();
        ans=solve(ans,a2,x-pre);
        ans=ans*a1;
        pre=x+1;
    }
    ans=solve(ans,a2,n-pre);
    cout<<(ans.a[0][0]+ans.a[0][1]+ans.a[0][2])%mod;
    return 0;
}