USACO18FEB Platinum

SlingShot 求数轴上从x到y的最短路（ 边长为1），有若干个从xi到yi长度为ti的传送门，每次只能选择其中一个使用。

即求min(|x-y|,min{|a-x|+|b-y|+c})，拆开绝对值，根据相对位置分开讨论，转换成二维数点问题。

MLE的主席树版本：

 #include<bits/stdc++.h>
 #define P pair<ll,ll>
 #define fir first
 #define sec second
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int read()
 {
     int x=;char ch=getchar();
     while (ch<''||ch>'') ch=getchar();
     while (''<=ch&&ch<='') x=(x<<)+(x<<)+ch-'',ch=getchar();
     return x;
 }
 const int N=1e9,T=6e6,M=1e5+;
 const ll inf=1ll<<;
 P Min[T];
 int ls[T],rs[T],A[M],x,y,sc,n,rt0[M],rt1[M],m;
 struct node{ll a,b,c;}p[M];
 bool cmp(const node &A,const node &B) {return A.a<B.a;}
 P fmin(P a,P b){
     return P(min(a.fir,b.fir),min(a.sec,b.sec));
 };
 void ins(int &k,int pk,int l,int r,int x,P y)
 {
     k=++sc;ls[k]=ls[pk];rs[k]=rs[pk];Min[k]=Min[pk];
     if (l==r) {Min[k]=fmin(Min[k],y);return;}
     int mid=(l+r)>>;
     if (x<=mid) ins(ls[k],ls[pk],l,mid,x,y);
     else ins(rs[k],rs[pk],mid+,r,x,y);
     Min[k]=fmin(Min[ls[k]],Min[rs[k]]);
 }
 P qry(int k,int l,int r,int L,int R)
 {
     if (!k) return P(inf,inf);
     if (L<=l&&r<=R) return Min[k];
     int mid=(l+r)>>;P mn=P(inf,inf);
     if (L<=mid) mn=fmin(mn,qry(ls[k],l,mid,L,R));
     if (R>mid) mn=fmin(mn,qry(rs[k],mid+,r,L,R));
     return mn;
 }
 int main()
 {
     n=read();m=read();Min[]=P(inf,inf);
     for (int i=;i<=n;i++)
       p[i].a=read(),p[i].b=read(),p[i].c=read(),A[i]=p[i].a;
     sort(p+,p+n+,cmp);
     sort(A+,A+n+);//寻址数组
     for (int i=n;i>=;i--)
         ins(rt0[i],rt0[i+],,N,p[i].b,P(p[i].a-p[i].b+p[i].c,p[i].a+p[i].b+p[i].c));
     for (int i=;i<=n;i++)
         ins(rt1[i],rt1[i-],,N,p[i].b,P(-p[i].a-p[i].b+p[i].c,-p[i].a+p[i].b+p[i].c));
     while (m--)
     {
         x=read();y=read();
         ll ans=abs(x-y);
         int k=upper_bound(A+,A+n+,x)-A-;
         ans=min(ans,qry(rt0[k+],,N,,y).fir-x+y);
         ans=min(ans,qry(rt1[k],,N,,y).fir+x+y);
         ans=min(ans,qry(rt0[k+],,N,y,N).sec-x-y);
         ans=min(ans,qry(rt1[k],,N,y,N).sec+x-y);
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }

正常二维数点的树状数组版本（AC）：

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 int read()
 {
     int x=;char ch=getchar();
     while (ch<''||ch>'') ch=getchar();
     while (''<=ch&&ch<='') x=(x<<)+(x<<)+ch-'',ch=getchar();
     return x;
 }
 const int M=1e5+;
 const ll inf=1ll<<;
 int A[M],n,m,tot,t,B[M*]; ll ans[M],bit[M*];
 vector<int> vec1[M],vec2[M];
 struct node{ll a,b,c,d;}p[M],q[M];
 bool cmp(const node &A,const node &B) {return A.a<B.a;}
 int lowbit(int x) {return x&(-x);}
 void add1(int x,ll y){while (x<=tot) bit[x]=min(bit[x],y),x+=lowbit(x);}//前缀最小值
 ll qry1(int x){ll res=inf;while (x) res=min(res,bit[x]),x-=lowbit(x);return res;}
 void add2(int x,ll y){while (x) bit[x]=min(bit[x],y),x-=lowbit(x);}//后缀最小值
 ll qry2(int x){ll res=inf;while (x<=tot) res=min(res,bit[x]),x+=lowbit(x);return res;}
 void init(){for (int i=;i<=tot;i++) bit[i]=inf;}
 int main()
 {
     n=read();m=read();
     for (int i=;i<=n;i++)
       p[i].a=read(),p[i].b=B[++tot]=read(),p[i].c=read(),A[i]=p[i].a;
     sort(p+,p+n+,cmp);sort(A+,A+n+);//寻址数组
     for (int i=;i<=m;i++)
     {
         q[i].a=read(),q[i].b=B[++tot]=read();ans[i]=abs(q[i].a-q[i].b);
         int k=upper_bound(A+,A+n+,q[i].a)-A-;
         vec1[k+].push_back(i);
         vec2[k].push_back(i);
     }
     sort(B+,B+tot+);tot=unique(B+,B+tot+)-B-;
     for (int i=;i<=n;i++) p[i].d=lower_bound(B+,B+tot+,p[i].b)-B;
     for (int i=;i<=m;i++) q[i].d=lower_bound(B+,B+tot+,q[i].b)-B;
     init();
     for (int i=n;i>=;i--)
     {
         add1(p[i].d,p[i].a-p[i].b+p[i].c);
         for (int j=;j<vec1[i].size();j++)
           t=vec1[i][j],ans[t]=min(ans[t],qry1(q[t].d)-q[t].a+q[t].b);
     }
     init();
     for (int i=n;i>=;i--)
     {
         add2(p[i].d,p[i].a+p[i].b+p[i].c);
         for (int j=;j<vec1[i].size();j++)
           t=vec1[i][j],ans[t]=min(ans[t],qry2(q[t].d)-q[t].a-q[t].b);
     }
     init();
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         add1(p[i].d,-p[i].a-p[i].b+p[i].c);
         for (int j=;j<vec2[i].size();j++)
           t=vec2[i][j],ans[t]=min(ans[t],qry1(q[t].d)+q[t].a+q[t].b);
     }
     init();
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         add2(p[i].d,-p[i].a+p[i].b+p[i].c);
         for (int j=;j<vec2[i].size();j++)
           t=vec2[i][j],ans[t]=min(ans[t],qry2(q[t].d)+q[t].a-q[t].b);
     }
     for (int i=;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
     return ;
 }

Newbarn 加点x，询问x在树上能走的最远距离

最远距离一定会走到直径端点。维护每棵树的直径（维护一条就够了）。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int N=;
 int q,x,dep[N],fa[N][],id,bel[N],sc,Max,u[N],v[N],tmp;
 char s[];
 int lca(int x,int y)
 {
     if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
     int del=dep[x]-dep[y];
     for (int i=;i>=;i--)
       if (del&(<<i)) x=fa[x][i];
     if (x==y) return x;
     for (int i=;i>=;i--)
       if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
     return fa[x][];
 }
 int dis(int x,int y) {return dep[x]+dep[y]-*dep[lca(x,y)];}
 int main()
 {
     scanf("%d",&q);
     while (q--)
     {
         scanf("%s%d",s,&x);
         if (s[]=='B')
         {
             id++;
             if (x!=-)
             {
                 dep[id]=dep[x]+,fa[id][]=x; bel[id]=bel[x];
                 for (int j=;j<=;j++)
                   fa[id][j]=fa[fa[id][j-]][j-];
                 Max=dis(u[bel[id]],v[bel[id]]);
                 if (tmp=dis(id,u[bel[id]]),tmp>Max) Max=tmp,v[bel[id]]=id;
                 if (tmp=dis(id,v[bel[id]]),tmp>Max) Max=tmp,u[bel[id]]=id;
             }else bel[id]=++sc,u[sc]=v[sc]=id;
         }else printf("%d\n",max(dis(x,u[bel[x]]),dis(x,v[bel[x]])));
     }
     return ;
 }

Cow Gymnasts 求有多少个数组A任意位i都满足A[i]=sigma[A[i-j+1]>=j](i-j+1<=0时从N开始往下)？(1<=A[i]<=N)

关键点在发现循环节。大胆从最小位置x入手，设其值为m，则满足y=x(mod gcd(N,m)的位置y的值都为m。

同样也可以归纳证明，所有位置的值都<=m+1。（注意一个循环节中有一个m+1，那么就不会出现m）

枚举m，$Ans=\sum_{m=1}^{n-1}(2^{\gcd(n,m)}-1)+1$。m=n的情况只有可能全是m，故加1。

把gcd提出来，$Ans=\sum_{d|n}2^d*\varphi(N/d)-N+2-2^N$。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int mod=1e9+;
 #define P pair<ll,int>
 ll n,ans,sum;
 map<ll,ll> Phi;
 vector<P> vec;
 ll ksm(ll x,ll y) {
     ll res=;
     while (y) {if (y&) res=res*x%mod; x=x*x%mod;y>>=;}
     return res;
 }
 void dvd(ll x)
 {
     for (int i=;i<=sqrt(x);i++)
       if (x%i==)
       {
           sum*=i-;int cnt=;x/=i;
           while (x%i==) x/=i,cnt++,sum*=i;
           vec.push_back(P(i,cnt));
       }
     if (x!=) vec.push_back(P(x,));
 }
 void dfs(ll x,int d,ll phi)
 {
     if (d==vec.size()) {Phi[x]=phi;return;}
     dfs(x,d+,phi);
     ll t=vec[d].first,sum=t-;
     for (int i=;i<=vec[d].second;i++)
     {
         x*=t;
         dfs(x,d+,phi*sum);
         sum*=t;
     }
 }
 int main()
 {
     scanf("%lld",&n);
     if (n==) return puts(""),;
     sum=;dvd(n);
     dfs(,,);ans=((-n-ksm(,n))%mod+mod)%mod;
     for (int i=;i<=sqrt(n);i++)
       if (n%i==){
           ans+=ksm(,i)*Phi[n/i]%mod; ans%=mod;
           if ((ll)i*i!=n) ans+=ksm(,n/i)*Phi[i]%mod,ans%=mod;
       }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }