每天进步一点点------CRC码的FPGA实现

一、CRC码的FPGA实现之一CRC的原理

实验目的

学习用FPGA设计一个数据通信中常用的数据检错模块——循环冗余检验CRC模块，熟悉理解CRC的检错原理。

实验原理

循环冗余检验（CRC）算法原理

（一）基本原理

循环冗余检验（Cyclic Redundancy Check），是一种纠错能力很强，使用非常广泛的数据传输差错检错方法，是在串行通信中广泛采用的检验编码。CRC校验码的基本思想是利用线性编码理论，在发送端根据要传送的k位二进制码序列，以一定的规则产生一个校验用的监督码（既CRC码）r位，并附在信息后边，构成一个新的二进制码序列数共(k+ r)位，最后发送出去。在接收端，则根据信息码和CRC码之间所遵循的规则进行检验，以确定传送中是否出错。接收端有两种处理方法：1、计算k位序列的CRC码，与接收到的CRC比较，一致则接收正确。2.计算整个k+r位的CRC码，若为0，则ILY: 宋体">  模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分。与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。

①模2加法运算定义为：
0＋0＝0        0＋1＝1        1＋0＝1        1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110，列竖式计算：
   0 1 0 1
＋ 0 0 1 1
──────
   0 1 1 0

  ②模2减法运算定义为：
0－0＝0        0－1＝1        1－0＝1        1－1＝0
例如0110－0011＝0101，列竖式计算：
   0 1 1 0
－  0 0 1 1
──────
   0 1 0 1

  ③模2乘法运算定义为：
0×0＝0        0×1＝0        1×0＝0        1×1＝1
多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列竖式计算：
       1 0 1 1
     ×  1 0 1
    ──────
            1 0 1 1
     0 0 0 0
＋ 1 0 1 1
────────
   1 0 0 1 1 1

  ④模2除法运算定义为：
0÷1＝0        1÷1＝1

多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列竖式计算：
               1 1 1 0
       ────────
1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0
      －1 0 1 1
      ──────
           1 1 1 1
        － 1 0 1 1
       ──────
             1 0 0 0
          － 1 0 1 1
         ──────
               0 1 1 0
            － 0 0 0 0
           ──────
                 1 1 0

3、信息代码多项式：在纠错编码代数中，把以二进制数字表示的一个数据系列堪称一个多项式。例如，二进制序列1010111，用多项式可以表示成：

         M(x)=x⁶+x⁴+x²+x+1

M(x)称为信息代码多项式。

4、生成多项式（generator polynomial）：当进行CRC检验时，发送方与接收方需要事先约定一个除数，即生成多项式，一般记作G（x）。生成多项式的最高位与最低位必须是1。
   几种标准的CRC码生成多项式

CRC码	生成多项式G(x)
CRC-4	x4+x+1
CRC-5	x5+x4+x2+1
CRC-8	x8+x5+x4+1
CRC-9	x9+x6+x5+x4+x3+1
CRC-12	x12+x11+x3+x2+x+1
CRC-16	x16+x15+x2+1
CRC-CCITT	x16+x12+x5+1
CRC-32	x32+x26+x23+x16+x12+x11+x10+x8+x7+x5+x4+x2+x+1

每一个生成多项式都可以与一个代码相对应，如CRC8对应代码：100110001。其中CRC-12、CRC-16、CRC-CCITT 、CRC-32为国际标准的CRC生成多项式。

国际通行标准可以查看 http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_redundancy_check

在数据存储和数据通讯领域，CRC无处不在:著名的通讯协议X.25的FCS(帧检错序列)采用的是CRC. CCITT，ARJ、LHA等压缩工具软件采用的是CRC32，磁盘驱动器的读写采用了CRC16，通用的图像存储格式GIF、TIFF等也都用CRC作为检错手段。

（三）CRC检验码的计算

CRC校验码软件生成方法：

借助于多项式除法，其余数为校验字段。

例如：信息字段代码为: 1011001；对应m(x)=x⁶+x⁴+x³+1

假设生成多项式为：g(x)=x⁴+x³+1；则对应g(x)的代码为: 11001

x⁴m(x)=x¹⁰+x⁸+x⁷+x⁴ 对应的代码记为：10110010000；

采用多项式除法:  得余数为: 1010     (即校验字段为：1010）

发送方：发出的传输字段为:  1 0 1 1 0 0 1 1 0 10

                   信息字段       校验字段

接收方：使用相同的生成码进行校验:接收到的字段/生成码（二进制除法）如果能够除尽，则正确。

看一下下面的生成码、解码的过程：发送的数据为“12”这是字符对应的16进制为3132H

接收方：使用相同的生成码进行校验:接收到的字段/生成码（二进制除法)如果能够除尽，则正确)。