LuoguP7127 「RdOI R1」一次函数(function) 题解

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设 \(S_k\) 为直线 \(f(x)=kx+k-1\)，直线 \(f(x)=(k+1)x+k\) 与 \(x\) 轴围成的三角形的面积。现在给出 \(t\) 组询问，每组询问给定一个整数 \(n\)，求 \(\sum\limits_{i=1}^n S_i\)。结果用分数表示。

数据范围：\(1\leqslant t\leqslant 2\times 10^6.0\leqslant n\leqslant 2\times 10^6\)。

Solution

很简单的一道找规律题目。

我们发现，形如 \(f(x)=kx+k-1\) 的直线都会经过 \((-1,-1)\) 这个点。我们再稍微画几个图就能够发现，题目所要求的东西，无非就是以 \((0,0),(-1,-1)\) 以及最后一个 \(S_i\)，也就是 \(S_n\)，被约束的后一条直线 \(f(x)=(n+1)x+n\) 与 \(x\) 轴的点为三个顶点的三角形的面积罢了。而且很容易发现，我们的三角形如果以在 \(x\) 轴上的边为底边的话，它的高自然就是 \(1\)。再说，这条 \(x\) 轴上的边也很容易求出来：只需要求 \(f(x)=(n+1)x+n\) 这条直线与 \(x\) 轴的交点，再取个绝对值就好了。我们很容易求出上面所说的那条直线与 \(x\) 的交点为 \((-\dfrac{n}{n+1},0)\)。所以那条底边的长度就是 \(\dfrac{n}{n+1}\)。

因此，这道题目的答案，也就是 \(\sum\limits_{i=1}^nS_i=\begin{cases}0&n=0\\\dfrac{n}{2(n+1)}&n>0\end{cases}\)。注意：

• \(n=0\) 的时候，显然无法构成一个三角形，因此面积为 \(0\)。
• 注意约分，直接将分子和分母同时除以它们的最大公约数（也就是 \(\gcd\{n,2(n+1)\}\)）就好。

只是一时兴起想做道题目，不意味着正式回归。

但是，请等着我。（本文章原文写于 2020 年 12 月 27 日——笔者注）

Code

请注意 \(\textsf{NOI}\) 系列赛事不支持 algorithm 库的 __gcd 函数。建议自己写个 gcd 函数，反正又不难，对吧？

什么，要 gcd 函数？下面：

int gcd(int a, int b) {return !b ? a : gcd(b, a % b);} //数据类型根据实际情况适当调整

下面的是正式的代码，注意直接拿这个代码编译是不会通过的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int t, n;

int main() {
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        scanf("%d", &n);
        if(!n) puts("0");
        else printf("%d/%d\n", n / gcd(n, 2 * (n + 1)), 2 * (n + 1) / gcd(n, 2 * (n + 1)));
    }
    return 0;
}