P4980-[模板]Pólya定理

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4980

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题目大意

\(n\)个物品图上\(m\)种颜色，求在可以旋转的情况下本质不同的涂色方案。

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解题思路

既然是群论基本题就顺便写一下刚刚了解到的相关知识把（顺便消磨一下时间

一个群\((G,\times )\)定义为一个在运算\(\times\)下满足以下条件的集合

1. 封闭性：若存在\(a,b\in G\)那么有\(a\times b\in G\)
2. 交换律：若有\(a,b,c\in G\)那么有\((a\times b)\times c=a\times (b\times c)\)
3. 单位元：群中\(\exists e\in G\)满足\(\forall x\in G\)都有\(x\times e=x\)
4. 逆元：对于\(\forall x\in G\)都有一个唯一元素\(y\in G\)且\(x\times y=e\)

然后中间一些东西很多很杂这里不多说了，直接到置换部分。

一般来说规定置换第一行为\((1,2,3...)\)，那么定义一个置换\(\sigma=(g_1,g_2,g_3,...)\)。如果一个置换作用与一个排列\(a\)，一般写为\(\sigma(a)=b\)的话，就有\(b_i=a_{g_i}\)。需要注意的是对于一个置换两次后相当与使用了另一个置换。（也就是置换只能生效一次

然后就是\(\text{Burnside}\)引理了，对于一个置换群\(G\)，若\(G\)作用与一个集合\(X\)时，集合\(X\)中本质不同的元素个数为

\[\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}C(f)
\]

其中\(C(f)\)表示\(X\)的所有元素中对于置换\(f\)的不动点数量。

而\(\text{Polya}\)定理就是建立在\(\text{Burnside}\)引理上的，对于一个置换\(f\)，定义它的循环节数量为\(T(f)\)，用\(m\)种颜色染色时方本质不同的染色方案数就是

\[\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}m^{T(f)}
\]

也就是\(m^{T(f)}=C(f)\)，这个很显然，因为每个循环节涂成一种颜色就是一个不动点。

回到这题的旋转来，我们可以将其视为\(n\)个不同的置换构成的一个置换群。对于旋转\(i\)步，它的循环节数量就是\(gcd(n,i)\)，也就是我们要求

\[\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}m^{gcd(n,i)}
\]

枚举一下\(gcd(n,i)\)

\[\frac{1}{n}\sum_{d|n}m^d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(\frac{n}{d},i)==1]
\]

哦对啊好像有\(m=n\)

\[\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\varphi(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}n^{d-1}\varphi(\frac{n}{d})
\]

这个时间复杂度大概是\(O(Tn^{\frac{3}{4}})\)的，但是因为约数个数远到不了\(\sqrt n\)所以你可以把它视为常数比较大的\(O(T\sqrt n)\)？

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=1e9+7;
ll T,n,ans;
ll power(ll x,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*x%P;
        x=x*x%P;b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll x){
    ll ans=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i)continue;
        while(x%i==0)x/=i;
        ans=ans/i*(i-1);
    }
    if(x>1)ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
ll calc(ll x)
{return phi(x)*power(n,n/x-1)%P;}
signed main()
{
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld",&n);ans=0;
        for(ll i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i)continue;
            ans=(ans+calc(i))%P;
            if(i*i!=n)ans=(ans+calc(n/i))%P;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}