FFT模板（多项式乘法）

FFT模板（多项式乘法）

标签： FFT

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扯淡

一晚上都用来捣鼓这个东西了......

这里贴一位神犇的博客，我认为讲的比较清楚了。（刚好适合我这种复数都没学的）

http://blog.csdn.net/leo_h1104/article/details/51615710

题解

不写点什么也不好，我就简单的说一下吧。

我们首先得知道DFT（离散傅里叶变换）和IDFT（逆离散傅里叶变换）。

一个多项式有很两种表示方法：

法一：\(f(x)=\sum_{i=0}^n A_i*x^i\)

法二：图像上的任(n+1)个点，如\(f(x)=x+1\)就可以用(0,1),(1,2),(2,3)来表示。

法二其实是很适合两个函数的相乘，只需要对应横坐标点的纵坐标相乘。

DFT其实就是将表示法 法一转换成法二，IDFT则相反。

假如DFT使用的点坐标基于实数，那么复杂度为\(O(n^2)\)，相比较与基于复数的FFT，效率十分底下。

FFT就使用了单位根的\(0～n-1\)次方作为点的横坐标（这里n需要补成2的次幂），再利用单位根的某些性质，把规模减小一半。可以实现\(O(nlogn)\)的计算。

Code

#include<complex>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define EREP(i,a) for(int i=start[(a)];i;i=e[i].next)
inline int read()
{
	int sum=0,p=1;char ch=getchar();
	while(!(('0'<=ch && ch<='9') || ch=='-'))ch=getchar();
	if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();
	while('0'<=ch && ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
	return sum*p;
}

const int maxn=3e6+20;

int n,m,l,rev[maxn];
complex <double> a[maxn],b[maxn];

void init()
{
	n=read();m=read();
	REP(i,0,n)a[i]=read();
	REP(i,0,m)b[i]=read();
	m+=n;
	for(n=1;n<=m;n<<=1)l++;
	REP(i,0,n-1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(l-1));
}

const double Pi=acos(-1);

void FFT(complex <double> *p,int opt)
{
	REP(i,0,n-1)if(i<rev[i])swap(p[i],p[rev[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
	{
		complex <double> W(cos(Pi/i),opt*sin(Pi/i));
		for(int P=i<<1,j=0;j<n;j+=P)
		{
			complex <double> w(1,0);
			for(int k=j;k<i+j;k++,w*=W)
			{
				complex <double> x=p[k],y=w*p[k+i];
				p[k]=x+y;
				p[k+i]=x-y;
			}
		}
	}
	if(opt==-1)REP(i,0,n)p[i]/=n;
}

void doing()
{
	FFT(a,1);
	FFT(b,1);
	REP(i,0,n)a[i]=a[i]*b[i];
	FFT(a,-1);
	REP(i,0,m)printf("%d ",(int)(a[i].real()+0.5));
}

int main()
{
	freopen("FFT.in","r",stdin);
	freopen("FFT.out","w",stdout);
	init();
	doing();
	return 0;
}