主席树总结（经典区间第k小问题）（主席树，线段树）

接着上一篇总结——可持久化线段树来整理吧。点击进入

这两种数据结构确实有异曲同工之妙。结构是很相似的，但维护的主要内容并不相同，主席树的离散化、前缀和等思想也要更难理解一些。

闲话

话说刚学习主席树的时候百度了一下，看到了“主席树”这一名字的由来——

线段树竟然是被一个黄嘉泰的大佬因不会划分树来代替的，，，，，因缩写是HJT取名为主席树= =！orz

我的内心瞬间感到了不安。。。。。。（看我的名字，就在右边）

能跟神犇有相同的缩写是何等荣幸！看来这个主席树我得好好学了。

那么接下来进入正题。

主席树

直接从最经典的应用——区间第\(k\)小问题开始吧。ZSY巨佬对这一问题的思路挺清晰的，本蒟蒻在这里也参考一下。%ZSY%请点这里

1. 静态区间第k小问题

洛谷题目传送门

即给出一个序列，每次询问求给定区间\([l,r]\)内第\(k\)小的值

思路分析

先不考虑每一个区间的情况，从最简单的查询整个区间\([1,r]\)的情况开始。

对数据离散化后，用一个线段树来维护，每个节点维护对应离散化后值区间的数的总个数\(size\)。自上至下进行询问操作时，判断当前点左子树的\(size\)与要查询的排名\(k\)的大小关系。如果小于等于，就到左子树中找，\(k\)不变。否则到右子树中找排名\(k-size\)的值。这与平衡树(Splay,Treap)等查询给定排名数的方法是基本一样的。

那对于所有可能的区间，又该怎样维护呢？我们其实只要\(N\)个线段树就好了，第\(i\)个线段树维护\([1,i]\)的情况。这里我们利用了前缀和的性质。查询\([l,r]\)就等于查询\([1,r]\)减去\([1,l-1]\)的对应的\(size\)没错吧。因为线段树是完全二叉树，具有结构稳定的性质，所以\(N\)个线段树长得是一样的，对应区间相减是可行的。

然而暴力开\(N\)个空间保准炸掉。这时候我们回头看看可持久化线段树是怎么做的。没错，从\([1,i-1]\)到\([1,i]\)也只变了一个值！于是同样只要新开\(log\)个节点，保存\(root_i\)到\(i\)对应叶子节点的路径就OK了。

拿洛谷题目里的样例来几张图吧，好理解些。

首先是离散化后的序列。

我们一开始要建一棵空线段树，除了有个结构，所有的\(size\)均为\(0\)。然后一个一个的添加线段树。加入\([1,1]\)的线段树后会是这样：



再加入\([1,2]\)：

后面的手推一下吧。。。。。。

至此，\(N\)棵树就建好了，并且只用了\(N \log N\)的空间。

查询的时候存两个点，一开始为\(root_r\)和\(root_{l-1}\)，两个\(size\)的差与\(k\)来比大小，两个点要同时往左/右跳。

更多细节就看代码吧。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define R register int
const int N=200009,M=5000009;
int P,a[N],b[N],rt[N],lc[M],rc[M],s[M];
#define G c=getchar()
inline void in(R&z)
{
	register bool f=0;
	register char G;
	while(c<'-')G;
	if(c=='-')f=1,G;
	z=c&15;G;
	while(c>'-')z=(z<<3)+(z<<1)+(c&15),G;
	if(f)z=-z;
}//快读
void build(R&t,R l,R r)
{
	t=++P;
	if(l!=r)
	{
		R m=(l+r)>>1;
		build(lc[t],l,m);
		build(rc[t],m+1,r);
	}
}//线段树操作，建一个空线段树
inline void insert(R*t,R u,R l,R r,R v)
{
	while(l!=r)
	{
		s[*t=++P]=s[u]+1;//注意这里要+1
		R m=(l+r)>>1;
		if(v<=m)r=m,rc[*t]=rc[u],t=&lc[*t],u=lc[u];
		else  l=m+1,lc[*t]=lc[u],t=&rc[*t],u=rc[u];
	}
	s[*t=++P]=s[u]+1;
}//插入操作在可持久化线段树总结里面有更详细的介绍
inline int ask(R t,R u,R l,R r,R k)
{
	while(l!=r)
	{
		R m=(l+r)>>1,v=s[lc[u]]-s[lc[t]];//作差
		if(k<=v)r=m,t=lc[t],u=lc[u];//两个点一起跳
		else  l=m+1,t=rc[t],u=rc[u],k-=v;
	}
	return b[l];
}
int main()
{
	R n,m,i,l,r,sz;
	in(n);in(m);
	for(i=1;i<=n;++i)
		in(a[i]),b[i]=a[i];
	sort(b+1,b+n+1);
	sz=unique(b+1,b+n+1)-b-1;//离散化，排序去重
	build(rt[0],1,sz);
	for(i=1;i<=n;++i)
		insert(&rt[i],rt[i-1],1,sz,lower_bound(b+1,b+sz+1,a[i])-b);//直接用STL的二分找对应值了
	while(m--)
	{
		in(l);in(r);in(i);
		printf("%d\n",ask(rt[l-1],rt[r],1,sz,i));
	}
	return 0;
}

2. 动态区间第k小问题

洛谷题目传送门

就是比上面那题多了个修改。。。。。。

改为树状数组维护前缀和，使修改复杂度降低。

详细题解在此

3.树上路径第k小问题

洛谷题目传送门

只维护树根节点（随便设）到每个节点的前缀和，查询时\(size[root,u]+size[root,v]-size[root,lca(u,v)]-size[root,father(lca[u,v))]\)即为\(u->v\)路径的\(size\)。

于是用倍增求LCA。

详细题解在此