Bzoj3481 DZY Loves Math III

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4
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6

HINT

1<=N<=10,0<=Qi<=10^18,1<=Pi<=10^18,P>=2

本题仅四组数据。

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By Jc

数学问题 欧拉函数 Miller-Rabin Pollard-rho

花了一整晚来怼这道题……在long long的领域遇到了许多问题。

假设我们有充足的时间枚举每一个x，那么在x确定的情况下，原式变成了一个模方程。
根据裴蜀定理，我们知道只有当$ gcd(x,P)|Q $ 的情况下方程有 $ gcd(x,P) $ 个解。
现在我们可以愉快地枚举每一个gcd，那么答案就是：
$$ans=\sum_{d|P,d|Q} d * \sum_{x}[gcd(x,\frac{P}{d})==1]$$
后面那个sum显然是欧拉函数
那么$$ ans=\sum_{d|P,d|Q} d · \varphi(\frac{P}{d}) $$
分(an)析(zhao)一(tao)波(lu)，发现这是一个积性函数，所以我们可以分别考虑每个质因子的贡献，再把它们累乘起来。
我们现在考虑一个质因子p，它在P中有$q$个，在Q中有$q'$个：
它对答案的贡献是
$$ \sum_{i=0}^{q'} p^i * \varphi(p^{q-i})$$
我们知道
$$\varphi(p^{q})=p^{q}·\frac{p-1}{p}$$
所以上面的sum可以化成：
$$p^{q-1}·(p-1)·(q'+1)$$
但是有一个特殊情况，当i=q的时候,$\varphi(1)=1$，不能表示成$\frac{p-1}{p}$的形式，而我们却把它用这种形式算进去了。
也就是说我们把一个$p^q$ 的贡献算成了 $(p-1)p^{q-1}$，特判一下消除即可。

 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<map>
 #define LL long long
 using namespace std;
 const int mxn=;
 LL read(){
     LL x=,f=;char ch=getchar();
     while(ch<'' || ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
     while(ch>='' && ch<=''){x=x*-''+ch;ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 LL Rand(LL n){return (((LL)rand()<<)|rand())%(n-)+;}
 //
 map<LL,int>primap;
 LL pri[mxn*];int cnt=;
 bool vis[mxn];
 void init(){
     int mxn=;
     for(int i=;i<mxn;i++){
         if(!vis[i]){
             pri[++cnt]=i;
             primap[i]=cnt;
         }
         for(int j=;j<=cnt && pri[j]*i<mxn;j++){
             vis[pri[j]*i]=;
             if(i%pri[j]==)break;
         }
     }
     return;
 }
 //
 LL mul(LL x,LL k,LL P)
 {
     LL res=;
     while(k){
         if(k&)res=(res+x)%P;
         x=(x+x)%P;
         k>>=;
     }
     return res;
 }
 /*
 LL mul(LL a,LL b,LL P){
     LL d=(long double)a/P*b+1e-8;

     a=a*b-d*P;
     a=(a<0)?a+P:a;
     printf("%lld \n",a);
     return a;
 }*/
 LL ksm(LL a,LL k,LL P){
     LL res=;
     while(k){
         if(k&)res=mul(res,a,P);
         a=mul(a,a,P);
         k>>=;
     }
     return res;
 }
 ///
 bool check(LL a,LL n,LL r,LL s){
     LL res=ksm(a,r,n);LL b=res;
     for(int i=;i<=s;i++){
         res=mul(res,res,n);
         if(res== && b!= && b!=n-)return ;
         b=res;
     }
     return (res!=);
 }
 bool MR(LL n){//素数测试
     if(n<=)return ;
     if(n==)return ;
     if(~n&)return ;
     LL r=n-,s=;
     while(!(r&))r>>=,s++;
     for(int i=;i<=;i++)
         if(check(Rand(n),n,r,s))return ;
     return ;
 }
 ///
 LL p[mxn],q[mxn];
 void addpri_P(LL x){
     if(primap.count(x)){
         ++p[primap[x]];return;
     }
     pri[++cnt]=x;
     primap[x]=cnt;
     p[cnt]=;
     return;
 }
 void addpri_Q(LL x){
     if(primap.count(x)){
         int t=primap[x];
         if(q[t]<p[t])++q[t];
     }
     return;
 }
 LL gcd(LL a,LL b){return b?gcd(b,a%b):a;}
 LL Rho(LL n,LL c){
     if(n<)while();
     LL k=,x=Rand(n),y=x,p=;
     for(LL i=;p==;i++){
         x=(mul(x,x,n)+c)%n;
         p=(y>x)?(y-x):(x-y);
         p=gcd(n,p);
         if(i==k)y=x,k<<=;
     }
     return p;
 }
 void solve(LL x,bool flag){//分解质因数
     if(x==)return;
     if(MR(x)){
         if(!flag)addpri_P(x);//P
         else addpri_Q(x);//Q
         return;
     }
     LL t=x;
     while(t==x)t=Rho(x,Rand(x));
     solve(t,flag);
     solve(x/t,flag);
     return;
 }
 //
 const int mod=1e9+;
 int n;
 LL P[],Q[];
 void Calc(){
     LL ans=;
     for(int i=;i<=cnt;i++){
         if(!p[i])continue;
         LL R=mul((q[i]+),(pri[i]-),mod);
         if(p[i]==q[i])R++;
         R=mul(R,ksm(pri[i],p[i]-,mod),mod);
         ans=mul(ans,R,mod);
     }
     printf("%lld\n",ans);
     return;
 }
 int main(){
     srand();
     init();
     int i,j;
     n=read();
     for(i=;i<=n;i++){
         P[i]=read();
         solve(P[i],);
     }
     for(i=;i<=n;i++){
         Q[i]=read();
         if(!Q[i]){//特判0
             for(j=;j<=cnt;j++)q[j]=p[j];
             break;
         }
         else solve(Q[i],);
     }
     Calc();
     return ;
 }