算法学习拓扑排序（TopSort）

拓扑排序

一、基本概念

在一个有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)中，规定< u,v > 表示一条由u指向v的的有向边。要求对所有的节点排序，使得每一条有向边 < u,v>中u都排在v的前面。

换个形象点的解释，我们在学习一门课程之前，应该需要一定的预备知识，比如在学习B课程之前我们需先学习A（后用< X,Y > 表示X课程是Y课程的预备知识，其实与上述有序偶的含义相同），则有 < A,B >。我们还有 < C,B >, < B,D >, < E,D >, < D,F >, < D,G >, < H,G >. 现在要求你合理安排A-H这些课程的学习顺序。这个任务的要求实际上就是对A-H进行拓扑排序。

为何要求这个图是DAG呢？不难想象，如果上面的课程变成 < A,B >, < B,C >, < C,D > …… < H,A >. （即A-H成有向环）那么我们就无法判断出先学哪个课程了。

二、算法实现

以上面给课程排序为例，我们首先要学的，一定是一个不需要任何预备知识的课程，然后学完这个课程之后，根据边的关系再看有哪些新的课程可以学习，同时我们还要清楚，学完一门课程后，就不需要再次学习这一门课程了。

我们将其与图做个类比。

不需要预备知识的课程-> 入度为0的点

新的课程->所指向的下一个点

每门课之学一次->从图中删除节点 && 从图中删除有向边

接着再根据图类比结果决定存储的数据

入度为0的点->需要存储每个节点的入度

所指向的下一个点->需要存每个节点的后继

删除节点与有向边-> 这里讨论一下：

如果我们真的删除了节点和有向边，那就意味着无法在找到这些数据了。因为我们还需要判断是否形成了DAG，最保险的做法是将下一个节点的入度-1。如果发现某个节点的入度为-1了，表明存在有向环，那么说明不存在与拓扑排序。

根据存储的数据选择数据结构(具体情况具体分析，灵活变通)

节点入度->数组

节点后继->vector

三、例题讲解

UVA.10305 Ordering Tasks

有n个点，m条边，给n个顶点做拓扑排序。

#include <iostream>

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cstring>

#include <sstream>

#include <set>

#include <map>

#include <queue>

#include <stack>

#include <cmath>

#define nmax 200

#define MEM(x) memset(x,0,sizeof(x))

using namespace std;

vector<int> v[nmax];

int indegree[nmax];

int n;

bool suc = true;

queue<int> ans;

void topsort()

{

    queue<int> q;

    while(1){

        for(int i = 1; i<=n ;++i){

            if(indegree[i] == 0){

                q.push(i);

                ans.push(i);

                indegree[i] = -1;

            }

        }

        if(q.empty()) break;

        while(!q.empty()){

            int t = q.front(); q.pop();

            for(int j = 0;j<v[t].size();++j){

                int tt = v[t][j];

                if(indegree[tt] == -1){

                    suc = false;

                    break;

                }else indegree[tt]--;

            }

            v[t].clear();

            if(!suc) break;

        }

        if(!suc) break;

    }

    if(ans.size() <n){

        suc =false;

        return;

    }

}

void output()

{

    bool isfirst = true;

    while(!ans.empty()){

        int t = ans.front(); ans.pop();

        if(isfirst){

            printf("%d",t);

            isfirst = false;

        }else

            printf(" %d",t);

    }

    printf("\n");

}

int main()

{

    //freopen("in.txt","r",stdin);

    int m;

    while(scanf("%d%d",&n,&m) ==2 && (n||m)){

        MEM(indegree);

        suc = true;

        int a,b;

        for(int i = 0; i<m; ++i){

            scanf("%d%d",&a,&b);

            indegree[b]++;

            v[a].push_back(b);

        }

        topsort();

        if(suc) output();

        else printf("failed\n");

    }

    return 0;

}

基本方法是，indegree表示入度表，vector存后继节点。在topsort函数中，制造一个辅助队列，首先从入度表中找到入度为0的点作起点，并且置入度为-1。接着依次处理队列中的节点，首先根据他们的后继，将其后继节点的入度依次减1，若其后继节点中的入度存在-1的，说明成环，则不存在拓扑排序。紧接着再从入度表中找到入度为0的节点，加入到队列中，直到队列空。当退出while循环的时候，需要检查ans答案队列中是否已经有全部的节点，若其数量为n，则表明存在拓补排序，否则不存在。

当然本题满足存在topsort。下面给出三组例子，可以检验一下自己程序的健壮性。

Graph1

不存在拓扑排序，节点2，3，4成环

Graph2

不存在拓扑排序，节点1，2，3成环

Graph3

存在拓扑排序