[CF930E]/[CF944G]Coins Exhibition

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题目大意：

一个长度为$k(k\le10^9)$的$01$串，给出$n+m(n,m\le10^5)$个约束条件，其中$n$条描述区间$[l_i,r_i]$至少有一个$0$，其中$m$条描述区间$[l_i,r_i]$至少有一个$1$。求合法的$01$串数量。

思路：

显然直接考虑所有的$k$位，就算$\mathcal O(k)$的线性算法也会超时，因此对于所有的$l_i-1,r_i$以及$0,k$离散化以后考虑这些关键点即可。

设关键点有$lim$个，对所有关键点排序，$tmp[i]$为$i$离散化前对应的数。对所有关键点排序，考虑动态规划，设$f[i][j\in\{0,1,2\}]$表示从后往前考虑第$i\sim lim$个关键点。若$j\in\{0,1\}$，则$f[i][j]$表示$tmp[i]\sim tmp[i+1]$中含有$j$的方案数后缀和。若$j=2$，则$f[i][j]$表示最后一段同时有$0$和$1$的方案数。用$min[j\in\{0,1\}][i]$表示对应约束条件类型为$j$，$i$右侧最近的、对应左端点不在$i$左侧的右端点。状态转移方程如下：

$f[i][0]=f[i+1][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)$
$f[i][1]=f[i+1][1]+f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)$
$f[i][2]=f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)$

最终答案为$f[0][2]$。

时间复杂度$\mathcal O((n+m)(\log(n+m)+\log k))$。其中$\mathcal O(\log(n+m))$为离散化复杂度，$\mathcal O(\log k)$为快速幂复杂度。

源代码：

#include<cstdio>

#include<cctype>

#include<algorithm>

using int64=long long;

inline int getint() {

	register char ch;

	while(!isdigit(ch=getchar()));

	register int x=ch^'0';

	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');

	return x;

}

constexpr int N=1e5,mod=1e9+7;

std::pair<int,int> p[2][N];

int tmp[N*4+2],min[2][N*4+2],f[N*4+2][3];

inline int power(int a,int k) {

	int ret=1;

	for(;k;k>>=1) {

		if(k&1) ret=(int64)ret*a%mod;

		a=(int64)a*a%mod;

	}

	return ret;

}

int main() {

	const int k=getint(),n=getint(),m=getint();

	int lim=0;

	for(register int i=0;i<n;i++) {

		tmp[++lim]=p[0][i].first=getint()-1;

		tmp[++lim]=p[0][i].second=getint();

	}

	for(register int i=0;i<m;i++) {

		tmp[++lim]=p[1][i].first=getint()-1;

		tmp[++lim]=p[1][i].second=getint();

	}

	tmp[++lim]=k;

	std::sort(&tmp[0],&tmp[lim]+1);

	lim=std::unique(&tmp[0],&tmp[lim]+1)-&tmp[1];

	for(register int i=0;i<=lim;i++) {

		min[0][i]=min[1][i]=lim+1;

	}

	for(register int i=0;i<n;i++) {

		p[0][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].first)-tmp;

		p[0][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].second)-tmp;

		min[0][p[0][i].first]=std::min(min[0][p[0][i].first],p[0][i].second);

	}

	for(register int i=0;i<m;i++) {

		p[1][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].first)-tmp;

		p[1][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[1][i].second)-tmp;

		min[1][p[1][i].first]=std::min(min[1][p[1][i].first],p[1][i].second);

	}

	for(register int i=lim;i;i--) {

		min[0][i-1]=std::min(min[0][i-1],min[0][i]);

		min[1][i-1]=std::min(min[1][i-1],min[1][i]);

	}

	f[lim][0]=f[lim][1]=f[lim][2]=1;

	for(register int i=lim-1;i>=0;i--) {

		int g[3];

		g[0]=(f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+mod)%mod;

		g[1]=(f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+mod)%mod;

		g[2]=(int64)f[i+1][2]*((power(2,tmp[i+1]-tmp[i])-2+mod)%mod)%mod;

		f[i][0]=((int64)f[i+1][0]+g[1]+g[2])%mod;

		f[i][1]=((int64)f[i+1][1]+g[0]+g[2])%mod;

		f[i][2]=((int64)g[0]+g[1]+g[2])%mod;

	}

	printf("%d\n",f[0][2]);

	return 0;

}