[图形学] Chp14 GLU曲面裁剪函数程序示例及样条表示遗留问题

　　样条表示这章已经看完，最后的GLU曲面裁剪函数，打算按书中的示例实现一下，其中遇到了几个问题。

　　先介绍一下GLU曲面裁剪函数的使用方法。

　　1 裁剪函数是成对出现的: gluBeginTrim和gluEndTrim。它们必须出现并且可以多对存在于gluBeginSurface和gluEndSurface之间。

　　2 在裁剪函数中间，可以插入B样条分段线型裁剪曲线gluPwlCurve或者B样条一般裁剪曲线gluNurbsCurve或者是它们的混合。

　　3 必须要注意的是，每一组裁剪函数中间的裁剪曲线，必须是封闭的，不自交并且不与其他曲线相交的。

 gluBeginSurface(surfName);

      gluBeginTrim(surfName);

          gluPwlCurve(...);
          gluNurbsCurve(...);
          ....

      gluEndTrim(surfName);

 gluEndSurface(surfName);

以下是示例程序：

1 先用GLU画出一个坐标范围是(-1.5, -1.5)到(1.5, 1.5)的B样条曲面（其实是个平面）

2 用一条逆时针裁剪曲线表示裁剪保留区域

3 用一条顺时针的组合封闭分段线型曲线和B样条曲线，标出要裁掉的区域

 #include <GLUT/GLUT.h>
 #include <iostream>

 GLsizei winWidht = , winHeight = ;

 void init (void)
 {
     glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0);

     glMatrixMode(GL_PROJECTION);
     glLoadIdentity();
     gluOrtho2D(-, , -, );
 }

 void xyCoords (void)
 {
     glBegin(GL_LINES);
     glColor3f(1.0, 0.0, 0.0); // red x axis
     glVertex2i(-, );
     glVertex2i(, );
     glColor3f(0.0, 1.0, 0.0); // green y aixs
     glVertex2i(, -);
     glVertex2i(, );
     glEnd();
 }

 void errorCallback (void)
 {
     std::cout << "errorCallback" << std::endl;
 }

 void displayFcn1 (void)
 {
     glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);

     glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);

     GLfloat ctrlPts [][][] = {
         {{-, -, 0.0}, {-, -, 0.0},  {, -, 0.0},   {, -, 0.0}},
         {{-, -, 0.0}, {-, -, 0.0},  {, -, 0.0},   {, -, 0.0}},
         {{-, , 0.0},  {-, , 0.0},   {, , 0.0},    {, , 0.0}},
         {{-, , 0.0},  {-, , 0.0},   {, , 0.0},    {, , 0.0}}
     };

     GLUnurbsObj *bezSurface;
     GLfloat outerTrimPts [][] = {{0.0, 0.0}, {1.0, 0.0}, {1.0, 1.0}, {0.0, 1.0}, {0.0, 0.0}};
     GLfloat innerTrimPts1 [][] = {{0.5, 0.25}, {0.01, 0.02}, {0.2, 0.75}};
     GLfloat innerTrimPts2 [][] = {{0.2, 0.75}, {0.5, 0.99}, {0.75, 0.5}, {0.5, 0.25}};
     GLfloat surfKnots [] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
     GLfloat trimCurveKnots [] = {0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0};
     bezSurface = gluNewNurbsRenderer();
     gluNurbsCallback(bezSurface, GLU_NURBS_ERROR, errorCallback);

     gluBeginSurface(bezSurface);
 //    gluNurbsProperty(bezSurface, GLU_DISPLAY_MODE, GLU_OUTLINE_POLYGON); // 线框图划分三角形
 //    gluNurbsProperty(bezSurface, GLU_NURBS_MODE, GLU_NURBS_TESSELLATOR); // ???? 细分 不好用

     // ???? 注意 sStride和tStride的顺序，如果颠倒了，对于后面的裁剪坐标，也是颠倒的
     gluNurbsSurface(bezSurface, , surfKnots, , surfKnots, , , &ctrlPts[][][], , , GL_MAP2_VERTEX_3);

     // ???? 必须先提供一个单位正方形的逆时针区域，是确保所有的图案都能正常显示
     // http://csweb.cs.wfu.edu/~torgerse/Kokua/Irix_6.5.21_doc_cd/usr/share/Insight/library/SGI_bookshelves/SGI_Developer/books/OpenGL_PG/sgi_html/ch13.html
     // counterclockwise around the entire unit square of parametric space. This ensures that everything is drawn, provided it isn't removed by a clockwise trimming curve inside of it.
     gluBeginTrim(bezSurface);
     gluPwlCurve(bezSurface, , &outerTrimPts[][], , GLU_MAP1_TRIM_2);
     gluEndTrim(bezSurface);

     // 注意 1 裁剪曲线的坐标设置，必须按照顺时针，最后必须封闭
     // ???? 注意 2 根据逆时针的坐标范围，整个裁剪区域被看做(0,0)到(1,1)的一个区域，裁剪曲线的坐标必须在0-1之间，并且不能等于0和1，否则会将所有区域都裁减掉
     gluBeginTrim(bezSurface);
     gluNurbsCurve(bezSurface, , trimCurveKnots, , &innerTrimPts2[][], , GLU_MAP1_TRIM_2);
     gluPwlCurve(bezSurface, , &innerTrimPts1[][], , GLU_MAP1_TRIM_2);
     gluEndTrim(bezSurface);

     gluEndSurface(bezSurface);

     xyCoords();

     glFlush();
 }

 void winReshapeFcn (GLint newWidth, GLint newHeight)
 {
     glViewport(, , newWidth, newHeight);
 }

 int main(int argc, char * argv[])
 {
     glutInit(&argc, argv);
     glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
     glutInitWindowSize(winWidht, winHeight);
     glutInitWindowPosition(, );
     glutCreateWindow("OpenGL Bézier Curve Surface");

     init();
     glutDisplayFunc(displayFcn1);
     glutReshapeFunc(winReshapeFcn);
     glutMainLoop();

     return ;
 }

图0

其中，遇到的几个问题是：

1 逆时针裁剪曲线，我尝试过非矩形的情况，也尝试了范围不是(0,0)到(1,1)的范围，但最终的效果是：(0,0)到(1,1)的单位逆时针曲线就可以保留整个曲面，即使整个逆时针裁剪曲线再大，也只是全部显示曲面。当整个逆时针裁剪曲线小于(0,0)到(1,1)的区间时，才能裁剪保留曲面的一部分。

参考：http://csweb.cs.wfu.edu/~torgerse/Kokua/Irix_6.5.21_doc_cd/usr/share/Insight/library/SGI_bookshelves/SGI_Developer/books/OpenGL_PG/sgi_html/ch13.html

“counterclockwise around the entire unit square of parametric space. This ensures that everything is drawn, provided it isn't removed by a clockwise trimming curve inside of it.”

例如：曲面是(-1.5,-1.5)到(1.5,1.5)的3*3曲面，如果将第一个逆时针裁剪曲线规划为1*1的单位矩形，那么3*3的曲面将全部保留；假如将第一个裁剪曲线的坐标设置为: (0.2,0.0) (0.8,0.0) (1.0, 1.0) (0.0,1.0) (0.2, 0.0)即为一个倒梯形，那么保留下来的曲面将是区域(-0.9, -1.5) (0.9, -1.5) (1.5, 1.5) (-1.5, 1.5)这样的倒梯形。

图1

2 这时再添加顺时针裁剪曲线时，可用的坐标范围即是前面逆时针规定的范围，但不能超过或者等于边界坐标。一旦顺时针裁剪坐标点与逆时针的裁剪曲线边界重合，则会返回error。并且整个曲面都无法正确显示。

图2

3 如果添加顺时针裁剪曲线，之前必须要逆时针的裁剪区域，否则也会报错。

4 gluNurbsSurface函数，其中注意sStride和tStride的顺序。如果sStride=3，tStride=12，即为u方向连续控制点的坐标以行来读取ctrlPts内容，v方向连续控制点的坐标以列方向为读取方向。即u方向是对应裁剪区域的x轴，而v方向对应裁剪区域的y轴（不很确定是不是这个理解）。那么之后的裁剪坐标的第一个值与sStride方向的坐标对应，而第二个值与tStride方向的坐标对应。加入替换了tStride和sStride的值，那么裁剪掉的内容与原内容是相对轴y=x是对称的。

extern void gluNurbsSurface (GLUnurbs* nurb, GLint sKnotCount, GLfloat* sKnots, GLint tKnotCount, GLfloat* tKnots, GLint sStride, GLint tStride, GLfloat* control, GLint sOrder, GLint tOrder, GLenum type) OPENGL_DEPRECATED(10_0, 10_9);

图3 sStride = 12, tStride = 3的才见情况

　　感觉很多内容理解的不是很透彻，样条曲线这章花了很多时间看，但还是一知半解。在这里列出本章还未解决的几个问题：

　　1 相邻曲线段的一阶几何连续性，表示一阶导数在两条相邻曲线段的交点处成比例，但不一定相等。这个比例是谁与谁的比例？

　　2 样条曲线可用于模拟动画路径，相机路径等，是用按代码实现的曲线路径做运动效率高还是美术在Unity中做好的animation效率更高？

　　3 周期性三次B样条在四个连续控制点上的边界条件P(0) = 1/6(p₀ + 4p₁ + p₂), P(1) = 1/6(p₁ + 4p₂ +p₃), P'(0) = 1/2(p₂-p₁), P'(1) = 1/2(p₃-p₁)是如何得到的？

　　4 样条表示之间的转换： P(u) = U•M_spline1•M_geom1 = U•Mspline2•M_geom2 = U•M_spline2•(M^-1_spline2•M_spline1)•M_geom1，M_s1,s2 = M^-1_spline2•M_spline1。书上说这个M_s1,s2是从第一个样条表达式转变到第二个表达式的变换矩阵，即M_spline1 = M_spline2•M_s1,s2，这难道不是第二个样条表达式转变到第一个表达式的变换矩阵吗？

　　5 递归样条细分方法：取中间点切开原三次Bézier曲线（控制点是p₀, p₁, p₂, p₃），左右两段分别构造Bézier样条，获取新控制点的坐标，结果是：p_1,0 = p₀, p_1,1 = 1/2(p₀ + p₁), p_1,2 = 1/4(p₀+2p₁+p₂), p_1,3 = 1/8(p₀+3p₁+3p₂+p₃)。 在假设：3(p_1,1-p_1,0) = 1/2(P'(0)) = 1/2•3(p₁-p₀)的情况下可以推导出上述坐标，但这个假设为什么成立？是Bézier样条曲线的性质决定的吗？