【NOI2001】炮兵阵地

【题目描述】

司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用“H” 表示），也可能是平原（用“P”表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击 范围如图中黑色区域所示：

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。

现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

【输入文件】

文件的第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；

接下来的N行，每一行含有连续的M个字符（‘P’或者‘H’），中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N≤100；M≤10。

【输出文件】

文件仅在第一行包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

【分析】

这是一道经典的状态压缩类动态规划的题目。

我们可以看到表示列数的M（M<=10）很小，考虑用一个数的二进制位0与1来表示是否放置炮兵，同时我们用0来表示高低，1来表示平原，用map[i]来记录。

我们发现，因为炮兵的范围可以延伸到两行，所以我们在考虑L行的状态时，总要根据L-1行与L-2行来推得，于是，我们想到要先将所有可行的状态通过枚举得出来(即满足同行两个炮兵互不攻击)，并用state[i]来记录，同时我们也需要把每行所摆的炮兵数用Count[i]记录，注意第一行要特殊处理。

完成了以上的准备工作，用F[i][J][k]来表示在第i行采用第j个状态，上一行采用第k个状态所能得到的最大炮兵数，于是我们很容易得到状态转移方程：

满足state[k1]&state[j]==0  &&  state[k2]&state[j]==0 && map[i]|state[j]==map[i]

f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-1][k1][k2]+Count[j])

需满足条件中三个条件所代表的意义分别是，I行与I-1行、I-2行均不冲突，且与地形不冲突，然后就可以转移状态了。

 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 const int maxn=;
 using namespace std;
 int n,m,map[maxn],size;
 int f[maxn][maxn][maxn];
 int Count[maxn],state[maxn];

 void prepare();
 void dp();

 int main()
 {
     int i,j;
     //文件操作
     freopen("cannon.in","r",stdin);
     freopen("cannon.out","w",stdout);

     scanf("%d%d",&n,&m);
     for( int i = ; i <= n; i ++ ){
         char str[];
         scanf("%s", str);
         for( int j = ; j < m; j ++ ){
             if( str[j] == 'P' )
                 map[i] = (map[i]<<)+;
             else map[i] = (map[i]<<)+;
         }
     }
     prepare();//预处理第一行
     dp();//状态转移
     int ans=;
     for (i=;i<size;i++)
     for (j=;j<size;j++)
     ans=max(ans,f[n][i][j]);

     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }
 void prepare()
 {
      int i;//记录状态个数
      memset(f,,sizeof(f));

      for (i=;i<(<<m);i++)
      {
          //flag代表是否可以摆
          int cnt=,temp=i,flag=;
          while (temp>){
                //摆了
                if ((temp&)==){
                    if (flag>) break;
                    else flag=;//放上比较
                    cnt++;//用来统计本行放上的炮兵个数
                }
                else flag--;
                temp=temp>>;
          }
          if (temp==)//可以摆
          {
               Count[size]=cnt;
               //表示地形可以摆放
               if ((map[]|i)==map[])
               f[][size][]=cnt;
               //累计状态
               state[size++]=i;
          }
      }
      return;
 }
 void dp()
 {
      int i,k1,k2,j;
      for (i=;i<=n;i++)//决策行
      for (k1=;k1<size;k1++)//上一行
      for (k2=;k2<size;k2++)//上两行
      if (f[i-][k1][k2]>)//上两行的摆放状态是合理的
      {
          for (j=;j<size;j++)
          //查看当前摆放状态与上两行是否冲突
          if ((state[k1]&state[j])== && (state[k2]&state[j])==)
          if ((map[i]|state[j])==map[i])
          f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-][k1][k2]+Count[j]);
      }
 }