CF746 期望+逆序对

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题意：给定一个 \(1\) 到 \(n\) 的排列，等概率选一段区间 \([l, r]\) 随机排序，求期望逆序对数。

\[E =
\dfrac{\sum(cnt_{[1, n]} - cnt_{[l, r]} + E_{len})}{\dfrac{n \times (n + 1)}{2}}
\]

\(cnt_{[l, r]}\) 表示原序列 \([l, r]\) 内部逆序对数。

\(E_{len}\) 表示长度为 \(r - l + 1\) 的排列随机排序后的期望逆序对。

\(E_i\) 怎么求？（直接oeis，啪的一下很快啊

\[E_i = \dfrac{i \times (i - 1)}{4}
\]

proof:

随机排序后，下标 \(i\)，\(j\) 有 \(\dfrac{1}{2}\) 的概率构成逆序对，所以总期望为 \((i, j)\) 对数乘 \(\dfrac{1}{2}\)。

因此

\[\begin{aligned}
E =&
cnt_{[1, n]} - \dfrac{\sum cnt_{[l, r]}}{\dfrac{n \times (n + 1)}{2}} + \dfrac{\sum_{i = 1}^n (n - i + 1) \times E_i}{\dfrac{n \times (n + 1)}{2}} \\
=&
cnt_{[1, n]} - \dfrac{2\sum cnt_{[l, r]}}{n \times (n + 1)} + \dfrac{\sum_{i = 1}^n (n - i + 1) \times i \times (i - 1)}{2 \times n \times (n + 1)} \\
=&
A + \dfrac{-2B + \dfrac{C}{2}}{n \times (n + 1)}

\end{aligned}
\]

\(A\)，\(C\) 都很好做。

对于 \(B\)，下标为 \(j, i\) 的逆序对对 \(B\) 的贡献为包含 \([j, i]\) 的所有区间数 \(j \times (n - i + 1)\)，树状数组维护 \(\sum j\) 即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); ++ i)
#define per(i, a, b) for(int i = (a); i >= (b); -- i)
using namespace std;
using ll = long long;
constexpr int N = 1e5 + 5;

struct Fenwick_Tree {
	ll t[::N], n;
	void init(int x) {
		for(int i = 1; i <= (n = x); ++ i) {
			t[i] = 0;
		}
	}
	void add(int p, ll v = 1) {
		while(p) {
			t[p] += v;
			p -= p & -p;
		}
	}
	ll suf(int p) {
		ll ret = 0;
		while(p <= n) {
			ret += t[p];
			p += p & -p;
		}
		return ret;
	}
} bit;

ll n, a[N], A, B, C;

/*
长度为n的排列的期望逆序对数为 n * (n - 1) / 4
https://oeis.org/A001809
*/

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
	cin >> n, bit.init(n);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
		cin >> a[i];
		A += bit.suf(a[i]);
		bit.add(a[i]);
	}
	bit.init(n);
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) {
		B += ll(n - i + 1) * bit.suf(a[i]);
		bit.add(a[i], i);
	}
	B *= 2;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i) C += ll(n - i + 1) * i * (i - 1);
	C /= 2;
	double E = A + (double)(-B + C) / (n * (n + 1));
	cout << fixed << setprecision(12) << E;
	return 0;
}