CF1895

A

题意：你在数轴原点。有一个宝箱在 \(x\)，钥匙在 \(y\)。每移动一单位，耗费 \(1\) 时间。你可以到了 \(x\) 然后抱着宝箱走，但是抱着宝箱走的总路程不能超过 \(k\) 单位。如果某时刻你、钥匙、宝箱在同一个单位上，就能开宝箱。问：最快要多久开宝箱？

要么是拿钥匙，向宝箱走；要么是去抱着宝箱，向钥匙走 \(k\) 单位，或者直接走到钥匙那里。两种情况取 \(\min\) 即可。

B

给定一个长 \(2n\) 的数组，将其分为 \(n\) 个 pair 表示 \(n\) 个点。定义 \(s_i\) 为第 \(i\) 个点与第 \(i+1\) 个点的曼哈顿距离，请最小化 \(\sum_{i=1}^{n-1} s_i\)。

显然，如果两个点之间插入一个两个坐标都在它们之间的点，答案不会变。

所以数组排序，让 \((a[1],a[2n])\) 作为第一个点，\((a[n],a[n+1])\) 作为最后一个点，答案就是它俩的曼哈顿距离。

C

题意：给出 \(n\) 个字符串（\(len\le 5\)），每个字符都是数字。问有多少对字符串拼起来之后，前半部分的数字和等于后半部分？（若拼起来不是偶数长度，忽略）

关注：给出的长度 \(\le 5\)，直接枚举哪两种长度的字符串拼在一起，用个 \(map\) 记录就行了。

D

题意：给出一个长 \(n-1\) 的数组 \(b\)，\(b_i=a_i\bigoplus a_{i+1}\)。要求能否构造一个数组 \(a\) 满足 \(b\)，且 \(a_i\in [0,n-1]\)。

令 \(s_i=b_1\bigoplus\dots\bigoplus b_i\)，则 \(s_i=a_1\bigoplus a_{i+1}\)。将 \(s_i\) 插入 01-Trie 中。

枚举 \(a_1:0\sim n-1\)，查询此时 \(a_1\) 与哪个 \(s\) 异或最大，看这个最大值是否超过 \(n-1\)：如果没超过，\(a_1\) 就决定好了，可以输出。

E

小 A 和小 B 在打牌，各有 \(n,m\) 张牌。每张牌有自己的攻击力和防御。小 A 先手。

一张牌 \(a\) 能打败另一张牌 \(b\)，当且仅当 \(a.attack>b.defence\)。

每当对手打出一张牌，此时的人就必须打出一张能打败它的牌；否则此时的人就输了。当一张牌被打败，它会回到主人手中。

问当两人绝顶聪明，最终的结果是谁赢或者平局。

首先一个局面可以用正打出来的那张牌来代表。把一个局面抽象成一个结点，构建一张有向图。这已经是一个解法，但是是 \(O(nm)\) 的。因为边数是 \(O(nm)\) 的。

尝试优化边数。发现每次打出去的牌，一定是能击败对面的，防御值最高的牌。将两人的牌按攻击排序，求后缀防御最大值，再套一个二分，就可以求出每个人会使用哪张牌来击败对面的哪张牌。

此时的边数就被优化到 \(O(n)\) 级别了，一次 dfs 搞定。

复杂度 \(O(n\log n)\)。（排序、二分的复杂度）

F

定义一个长度为 \(n\) 的非负整数序列是 Fancy 的，当且仅当：

1. \(\exists i \in [1,n]\)，\(a_i\in[x, x + k - 1]\)。

2. \(\forall i\in [2, n]\)，\(|a_i - a_{i - 1}| \leq k\)。

多测，给定 \(n,x,k\)，求有多少 Fancy 序列，答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

\(1\leq n,k\leq 10^9\)，\(0\leq x\leq 40\)。

直接求两个条件，很难；所以我们改为求满足第二个条件，但是违反第一个条件的个数。

由于第二个条件，所以 \(a\) 要么全部属于 \([0,x)\)，要么属于 \((x+k-1,M]\)，其中 \(M\) 代表上界，可以视为 \(10^{500}\)。

令 \(f(l,r)\) 为违反第一个条件、满足第二个条件、所有元素都在 \([l,r]\) 内的 \(\{a\}\) 的数量。则我们要求的就是 \(f(0,M)-f(0,x-1)-f(x+k,M)\)。

由条件二的做差，考虑将 \(a\) 转用差分数组表示。记差分数组为 \(\triangle\)。

记 \(cnt(l,r,\triangle)\)：固定了差分数组为 \(\triangle\) 后，有多少个 \(a_1\) 使得 \(\{a\}\) 中每个元素都在 \([l,r]\) 之间。

则 \(f(l,r)=\displaystyle\sum_{\triangle}cnt(l,r,\triangle)\)。