HDU 2865 Birthday Toy

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题意：n个小珠子组成的正n边形，中间有一个大珠子。有木棍相连的两个珠子不能有相同的颜色，旋转后相同视为相同的方案，求着色方案数。

\(\\\)

先选定一种颜色放在中间，剩下的\(k-1\)种颜色再摆在环上。下面直接令\(k=k-1\)。

根据Burnside引理，\(ans=\sum_{a|n}f(a)\phi(\frac{n}{a})\)。\(f(a)\)表示最多使用\(k\)种颜色且长度为\(a\)的，首尾以及相邻珠子颜色互不相同的方案数。计算\(f(n)\)时，假设\(n-1\)号珠子与\(1\)号珠子相同，则对答案的贡献为\((k-1)\cdot f(n-2)\)；若不同，贡献为\((k-2)\cdot f(n-1)\)。所以\(f(n)=(k-1)\cdot f(n-2)+(k-2)\cdot f(n-1)\)。用矩阵快速幂就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 1000005
#define mod 1000000007

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

ll n,k;
int p[N];
bool vis[N];

void pre(int n) {
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!vis[i]) p[++p[0]]=i;
		for(int j=1;j<=p[0]&&1ll*i*p[j]<=n;j++) {
			vis[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}

int phi(int n) {
	ll ans=n;
	for(int i=1;1ll*p[i]*p[i]<=n;i++) {
		if(n%p[i]==0) ans=(ans-ans/p[i]);
		while(n%p[i]==0) n/=p[i];
	}
	if(n>1) ans=(ans-ans/n);
	return ans;
}

struct matrix {
	ll f[2][2];
	void Init() {memset(f,0,sizeof(f));}
}tem,g,t;

matrix operator *(const matrix &a,const matrix &b) {
	tem.Init();
	for(int i=0;i<2;i++)
		for(int j=0;j<2;j++)
			for(int k=0;k<2;k++)
				(tem.f[i][j]+=a.f[i][k]*b.f[k][j])%=mod;
	return tem;
}

matrix ksm(matrix g,int x) {
	matrix ans;
	ans.Init();
	for(int i=0;i<2;i++) ans.f[i][i]=1;
	for(;x;x>>=1,g=g*g)
		if(x&1) ans=ans*g;
	return ans;
}

ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}

ll cal(ll n) {
	if(n==1) return 0;
	matrix ans=t*ksm(g,n-2);
	return ans.f[0][1];
}

int main() {
	pre(1000000);
	while(scanf("%lld%lld",&n,&k)!=EOF) {
		g.f[0][0]=0,g.f[0][1]=k-2;
		g.f[1][0]=1,g.f[1][1]=k-3;
		t.f[0][0]=0,t.f[0][1]=(k-1)*(k-2)%mod;

		ll ans=0;
		for(int i=1,maxx=sqrt(n);i<=maxx;i++) {
			if(n%i==0) {
				(ans+=cal(i)*phi(n/i)%mod)%=mod;
				if(i*i!=n) (ans+=cal(n/i)*phi(i)%mod)%=mod;
			}
		}
		ans=ans*ksm(n,mod-2)%mod;
		ans=ans*k%mod;
		cout<<ans<<"\n";
	}
	return 0;
}