组合数C(n,m)的四种求解方法

转自：文章

1、暴力求解

C(n,m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!，（n<=15）；

int CF(int n,int m)
{
    int ans=,i,j;
    for(i=n;i>=n-m+;i--)
    ans*=i;
    for(i=m;i>=;i--)
    ans/=i;
    return ans;
}

2、打表

C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)，(n<=10000);

const int maxn = ;
const int MOD = ;
void CF(int n,int m)
{
    int i,j;
    for(i=;i<=maxn;i++)
    {
        c[][i]=;c[i][]=;
    }
    for(i=;i<=maxn;i++)
        for(j=;j<=maxn;j++)
        c[i][j]=(c[i-][j]+c[i-][j-])%MOD;
}

3、质因数分解

C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)，C(n,m)=p1a1-b1-c1p2a2-b2-c2…pkak-bk-ck,（n<=10000000）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int MOD = ;
const int maxn = ;
bool a[maxn]={false};
vector <int> prim_produce() //生成素数序列
{
    vector <int> vc;
    vc.push_back();
    int i,j;
    for(i=;i*i<=maxn;i+=)
    {
        if(!a[i])
        {
            vc.push_back(i);
            for(j=i*i;j<=maxn;j+=i)
            {
                a[j]=true;
            }
        }
    }
    while(i<maxn)
    {
        if(!a[i]) vc.push_back(i);
        i+=;
    }
    return vc;
}
//计算n！素数p的指数
int cal(int x,int p)
{
    int ans=;
    long long re=p;
    while(x>=re)
    {
        ans+=x/re;
        re*=p;
    }
    return ans;
}

int Pow(long long n,int k) //二分求n的k次方
{
    long long ans=;
    while(k)
    {
        if(k&) ans=ans*n%MOD;
        n=(n*n)%MOD;
        k>>=;
    }
    return ans;
}
int comb(int n,int m) //计算公式
{
    vector <int> prim=prim_produce();
    long long ans=;
    int num;
    for(int i=;i<prim.size()&&prim[i]<=n;i++)
    {
        num=cal(n,prim[i])-cal(m,prim[i])-cal(n-m,prim[i]);
        ans=(ans*Pow(prim[i],num))%MOD;
    }
    return ans;
}
int main(void)
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        printf("%d\n",comb(n,m));
    }
    return ;
}

4、Lucas定理

将m,n化为p进制,有:C(n,m)=C(n0,m0)*C(n1,m1)...(mod p)，算一个不是很大的C(n,m)%p,p为素数，化为线性同余方程,用扩展的欧几里德定理求解，n在int范围内，修改一下可以满足long long范围内。

#include <stdio.h>
const int M = ;
int ff[M+];  //打表，记录n!，避免重复计算

//求最大公因数
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==)
        return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

//解线性同余方程，扩展欧几里德定理
int x,y;
void Extended_gcd(int a,int b)
{
    if(b==)
    {
        x=;
        y=;
    }
    else
    {
        Extended_gcd(b,a%b);
        long t=x;
        x=y;
        y=t-(a/b)*y;
    }
}

//计算不大的C(n,m)
int C(int a,int b)
{
    if(b>a)
        return ;
    b=(ff[a-b]*ff[b])%M;
    a=ff[a];
    int c=gcd(a,b);
    a/=c;
    b/=c;
    Extended_gcd(b,M);
    x=(x+M)%M;
    x=(x*a)%M;
    return x;
}

//Lucas定理
int Combination(int n, int m)
{
    int ans=;
    int a,b;
    while(m||n)
    {
        a=n%M;
        b=m%M;
        n/=M;
        m/=M;
        ans=(ans*C(a,b))%M;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int i,m,n;
    ff[]=;
    for(i=; i<=M; i++) //预计算n!
        ff[i]=(ff[i-]*i)%M;
    while(~scanf("%d%d",&n, &m))
    {
        printf("%d\n",Combination(n,m));
    }
    return ;
}