2019.01.14 bzoj2752: [HAOI2012]高速公路（线段树）

传送门

线段树菜题。

题意简述：给一条nnn个点的链，链有边权，支持区间修改边权，查询在一段区间内随机选择不同的起点和终点路径的期望总边权和。

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思路：考虑每条边的贡献。

考虑对于一段区间[l,r][l,r][l,r]其中的一条边权为vvv的边[i−1,i][i-1,i][i−1,i]计算贡献次数。

显然对于所有方案，这条边的起点在[l,i−1][l,i-1][l,i−1]，终点在[i,r][i,r][i,r]，因此总贡献为(i−l)(r−i+1)v(i-l)(r-i+1)v(i−l)(r−i+1)v

考虑将式子拆开。

=v∗((l+r+1)i−i2−l(r+1))=v*((l+r+1)i-i^2-l(r+1))=v∗((l+r+1)i−i2−l(r+1))

所以我们建立线段树，每个节点[l,r][l,r][l,r]维护这几个值：

1. ∑i=lrai\sum_{i=l}^ra_i∑i=lr​ai​
2. ∑i=lriai\sum_{i=l}^ria_i∑i=lr​iai​
3. ∑i=lri2ai\sum_{i=l}^ri^2a_i∑i=lr​i2ai​

然后带入l,rl,rl,r求答案即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
#define lc (p<<1)
#define rc (p<<1|1)
#define mid (T[p].l+T[p].r>>1)
using namespace std;
inline int read(){
	int ans=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans*w;
}
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
int n,m;
struct Node{int l,r;ll s1,s2,s3,add;}T[N<<2];
ll s1[N],s2[N];
inline Node operator+(const Node&a,const Node&b){return (Node){a.l,b.r,a.s1+b.s1,a.s2+b.s2,a.s3+b.s3,0};}
inline void pushnow(int p,int v){T[p].add+=v,T[p].s1+=v*(s1[T[p].r]-s1[T[p].l-1]),T[p].s2+=v*(s2[T[p].r]-s2[T[p].l-1]),T[p].s3+=v*(T[p].r-T[p].l+1);}
inline void pushdown(int p){if(T[p].add)pushnow(lc,T[p].add),pushnow(rc,T[p].add),T[p].add=0;}
inline void build(int p,int l,int r){
	T[p].l=l,T[p].r=r,T[p].add=0;
	if(l==r){T[p].s1=T[p].s2=0;return;}
	build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r),T[p]=T[lc]+T[rc];
}
inline void update(int p,int ql,int qr,int v){
	if(ql<=T[p].l&&T[p].r<=qr)return pushnow(p,v);
	pushdown(p);
	if(qr<=mid)update(lc,ql,qr,v);
	else if(ql>mid)update(rc,ql,qr,v);
	else update(lc,ql,mid,v),update(rc,mid+1,qr,v);
	T[p]=T[lc]+T[rc];
}
inline Node query(int p,int ql,int qr){
	if(ql<=T[p].l&&T[p].r<=qr)return T[p];
	pushdown(p);
	if(qr<=mid)return query(lc,ql,qr);
	if(ql>mid)return query(rc,ql,qr);
	return query(lc,ql,mid)+query(rc,mid+1,qr);
}
inline ll gcd(ll a,ll b){while(b){ll t=a;a=b,b=t%a;}return a;}
int main(){
	build(1,1,(n=read()));
	for(ri i=1;i<=n;++i)s1[i]=s1[i-1]+(ll)i*i,s2[i]=s2[i-1]+i;
	for(ri tt=read(),a,b,c;tt;--tt){
		char op[2];
		scanf("%s",op);
		if(op[0]=='C')a=read(),b=read(),c=read(),update(1,a+1,b,c);
		else{
			a=read(),b=read();
			Node ret=query(1,a+1,b);
			ll ans1=(a+b+1)*ret.s2-ret.s1-ret.s3*a*(b+1),ans2=(ll)(b-a+1)*(b-a)/2,g=gcd(ans1,ans2);
			cout<<ans1/g<<'/'<<ans2/g<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}