bzoj 4827 礼物

bzoj 4827 礼物

• 可以看做将其中一个数列(假定为 \(a\) )都加上 \(c\) , \(c\) 可以为负数.易知这里 \(-m\leq c\leq m\).
• 记要求的答案为 \(ans\) , 大力拆开括号可得:

\[ans=\sum{(a_i+c-b_i)^2}\\=\sum a_i^2+\sum b_i^2+n\cdot c^2+2c\cdot (\sum a_i-\sum b_i)-2\sum a_i b_i.
\]

• 这里的 \(a,b\) 是原数列元素不变,通过旋转得到的.
• 其中前两项是确定的,中间两项只与 \(c\) 有关,最后一项只与旋转方式有关.
• \(c\) 的取值范围很小,可以枚举 \(c\) 求中间两项的最小值,而求最后一项的最大值,有一个做法:
• 将 \(a\) 翻转后重复一次,即拼接成 \(a'=a^Ra^R\),做卷积 \(a''=a'\otimes b\), 则 \(a''\) 的 \(n+1\) 至 \(2n\) 的项恰好对应了通过每种旋转方式后的 \(\sum a_i b_i\) ,可以通过验证得出.对这些项取一个最大值即可.
• 用 \(FFT\) 加速卷积过程,总时间复杂度为 \(O(nlogn)\) .

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define max(a,b) ((a) < (b) ? b : a)
#define min(a,b) ((a) < (b) ? a : b)
inline int read()
{
	int x=0;
	bool pos=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
		if(ch=='-')
			pos=0;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())
		x=x*10+ch-'0';
	return pos?x:-x;
}
void write(int x)
{
	if(x>=10)
		write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
void writeln(int x)
{
	write(x);
	puts("");
}
struct cp{
    double x,y;
    cp(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;}
    cp operator +(const cp &b){return cp(x+b.x,y+b.y);}
    cp operator -(const cp &b){return cp(x-b.x,y-b.y);}
    cp operator *(const cp &b){return cp(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);}
};
const double PI=acos(-1.0);
const int MAXN=6e5+10;
cp omega[MAXN],inv[MAXN];
int rev[MAXN];
void init(int n,int lim)
{
	for(int i=0; i<n; ++i)
	{
		for(int j=0; j<lim; ++j)
			if((i>>j)&1)
				rev[i]|=1<<(lim-j-1);
	}
}
void FFT(cp *a,int n,bool invflag)
{
	for(int i=0; i<n; ++i)
	{
		if(i<rev[i])
			swap(a[i],a[rev[i]]);
	}
	for(int l=2; l<=n; l<<=1)
	{
		int m=l>>1;
		cp wi=cp(cos(2*PI/l),sin(2*PI/l));
		if(invflag)
			wi=cp(cos(2*PI/l),-sin(2*PI/l));
		for(int p=0; p<n; p+=l)
		{
			cp w=cp(1,0);
			for(int i=0; i<m; ++i)
			{
				cp t=w*a[i+m+p];
				a[i+m+p]=a[i+p]-t;
				a[i+p]=a[i+p]+t;
				w=w*wi;
			}
		}
	}
	if(invflag)
	{
		for(int i=0; i<n; ++i)
			a[i].x/=n,a[i].y/=n;
	}
}
ll suma=0,sumb=0,sqa=0,sqb=0,sdif=0,mulmax=0;
int n,m;
cp a[MAXN],b[MAXN];
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=0;i<n;++i)
		{
			int x=read();
			a[i]=x;
			suma+=x;
			sqa+=x*x;
		}
	reverse(a,a+n);
	for(int i=n;i<2*n;++i)
		a[i]=a[i-n];
	for(int i=0;i<n;++i)
		{
			int x=read();
			b[i]=x;
			sumb+=x;
			sqb+=x*x;
		}
	sdif=suma-sumb;
	int N=1,lim=0;
	while(N<3*n)
		N<<=1,++lim;
	init(N,lim);
	FFT(a,N,0);
	FFT(b,N,0);
	for(int i=0;i<N;++i)
		a[i]=a[i]*b[i];
	FFT(a,N,1);
	for(int i=n;i<2*n;++i)
		mulmax=max(mulmax,(long long)(a[i].x+0.5));
	ll ans=1e18;
	for(int c=-m;c<=m;++c)
		ans=min(ans,sqa+sqb+n*c*c+2*c*sdif-2*mulmax);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}