2016级算法第五次上机-B.Bamboo&APTX4844魔发药水

Bamboo&APTX4844魔发药水

题意

“于是，Bamboo耐着性子，看巫师从袖子里掏出 M 瓶时光泉水和 K 粒绿色能量。每瓶时光泉水重量为 c ,生发效果为 l；每粒绿色能量的重量为w ，生发效果为 r。但一瓶APTX4844的重量不能超过 S，否则很难过安检(难道不是难以下咽？)。”  

“配置魔发药水需要用到至多两种原料：固态的绿色能量和液态的时光泉水。但是由于两者副作用不一样，*制作时优先选用副作用小的绿色能量，即先考虑使用绿色能量使得生发效果最大，然后再考虑时光泉水。*”

“Bamboo准备制作一瓶APTX4844试试效果，**同时力求达到最好的生发效果**，所以可以得到的最佳生发效果为多少？”

“绿色能量一个就是一个，单个为最小单位，不要有其他想法。但是瓶装时光泉水是液体，用不完一瓶可以以后用啊”

所以这里想表达的是，在副作用最小的情况下，使得生发效果最好。这不是一个合起来求最优生发效果的题，这是个有条件的最优，也可看作两道题，一个是01背包，一个是分数背包。贪心的求了两者的最大值。

多重背包为什么不对

如果采用多重背包的方式，也是考虑了性价比的问题（效果除以重量），但是其实是在试图求解全局最优，而不是条件最优，这种做法是没有看到要“优先使用绿色能量”，也就是能选则选。其实是以性价比为价值，一瓶一瓶的挑选时光泉水。（至于副作用什么的，只是为了表达优先选绿色能量编了个理由，因为也没有数据是具体涉及到副作用有多大之类的。 ）如果还是觉得自己的多重背包可以选出符合题意的，可以看一组简单数据：

3 2 7
2 1
4 1
3 2
2 2
3 1

按照题目意思会先选绿色能量 2 2 和3 1，因为能选绿色能量就选嘛，装不下那没办法，此时背包里已经装了重量为5，效果为3的能量，还有剩余2单位重量可装时光泉水，选择最优的话其实是看“性价比”，也就是价值除以重量，可以在单位重量内达到最大的效果，也就是贪心的思想。那么按性价比排序后选择3 2时光泉水，但是并不是w重的整瓶都能装下，所以用时光泉水填满背包后增加的效果为 2 * (2/3)=1.33333，最后得到的结果就是3+1.333=4.3

而多重背包得到的答案是5.0，比4.3这个值还要高，实际是因为没有“优先”去选择绿色能量，而是只求最佳生发效果。

综上题目是01+分数背包，比赛时的两份数据不够随机，所以有多重背包的同学莫名其妙的过了…….

还有0.9的同学，可能的原因是当时有0 0 的边界情况应该结果是0.0；还有是绿色能量都装不下但是可以装时光泉水的错误输出了0.0

但是这道题按照题意先绿色能量后多重背包取液体的，也是可以的，因为给的数据均为整数，可以看作一份一份取液体

分数背包

下面来说分数背包：（第三版《算法导论》P243 贪心算法原理中 贪心VS动态规划 特意举了这个例子）：

01背包：小偷偷东西，一个物品要么完整的拿走，要么不拿，不能只拿走物品的一部分

分数背包：设定基本一样，但是一个物品可以拿走一部分，而不是只做二元（拿与不拿）的选择，可以将物品想象成液体啊流体啊，比如金砂一类

其实两个背包都有最优子结构性质，但是贪心可以解决分数背包，而不能解决01背包。对分数背包，先计算出每个物品的每单位的价值，遵循贪心策略，小偷首先会尽量多的拿每磅价值最高的物品，如果该物品全部拿走而背包没满，就再尽量多的选择每磅价值第二高的物品，依次类推，直到达到背包重量上限。按物品每磅价值排序，复杂度可以到 O(nlgn)

至于为什么贪心不能算01背包，自行看《算法导论》中的例子

回到本题

为了不杂糅起来引发意想不到的逻辑问题，所以安排了前后顺序

绿色能量是要么完整取，要么不用的0-1背包（什么？不是优先用绿色能量吗怎么还不用？。。背包装不下自然就不选了）

现在只用绿色能量已经求到最大值了，但是背包还没满啊，那再加点时光泉水岂不是生发效果会更好？时光泉水用不用用多少都行，这是一个分数背包的问题，求出此时剩余的容量，贪心的装满就好了!

只保留一位小数，所以可能精度不会有很大问题

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxx = 1e5+1;
int w,r;
int dp[maxx];//for green energy only
int weight[maxx];
struct water{
 double c,I;
 double rate;
}wa[maxx];
bool cmp(water a, water b)
{
    return a.rate>b.rate;
}
int main()
{
    int M,K,S,i,j;
    while(cin>>M>>K>>S)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(weight,0,sizeof(weight));
        for(i=0;i<M;i++)
            {scanf("%lf %lf",&wa[i].c,&wa[i].I);
            wa[i].rate = wa[i].I/wa[i].c;
            }
        for(i = 0;i<K;i++){
            scanf("%d %d",&w,&r);
            for(j = S;j>=w;j--)
                if(dp[j]<dp[j-w]+r)
                {dp[j]=dp[j-w]+r;
                weight[j]=weight[j-w]+w;
                }
        }
        int rem = S - weight[S];
        int nowValue = dp[S];
        double price = 0.0;
        // 贪 心
        if(rem>0)
        {
            sort(wa,wa+M,cmp);

            double drem = (double)rem;
            for(i = 0;i<M;i++)
            {
                if(drem>=wa[i].c)
                {
                    price+=wa[i].I;
                    drem-=wa[i].c;
                }
                else if(drem>0&&drem<wa[i].c)
                {
                    price+=wa[i].rate*drem;
                    drem = 0;
                }

                if(drem == 0)break;
            }
        }
        double ans = (double)nowValue + price;
        printf("%.1lf\n",ans);
    }

传送门

很震惊，似乎大家没怎么看到书上这个分数背包，附上oj上一道专门的分数背包问题，想必看完上面的解题报告应该知道怎么求解分数背包了