BZOJ1505: [NOI2004]小H的小屋

BZOJ1505: [NOI2004]小H的小屋

Description

小H发誓要做21世纪最伟大的数学家。他认为，做数学家与做歌星一样，第一步要作好包装，不然本事再大也推不出去。

为此他决定先在自己的住所上下功夫，让人一看就知道里面住着一个“未来的大数学家”。

为了描述方便，我们以向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，建立平面直角坐标系。

小H的小屋东西长为100Hil（Hil是小H自己使用的长度单位，至于怎样折合成“m”，谁也不知道）。

东墙和西墙均平行于y轴，北墙和南墙分别是斜率为k1和k2的直线，k1和k2为正实数。

北墙和南墙的墙角处有很多块草坪，每块草坪都是一个矩形，矩形的每条边都平行于坐标轴。

相邻两块草坪的接触点恰好在墙上，接触点的横坐标被称为它所在墙的“分点”，这些分点必须是1到99的整数。

小H认为，对称与不对称性的结合才能充分体现“数学美”。

因此，在北墙角要有m块草坪，在南墙角要有n块草坪，并约定m≤n。

如果记北墙和南墙的分点集合分别为X1，X2，则应满足X1 X2，即北墙的任何一个分点一定是南墙的分点。

由于小H目前还没有丰厚的收入，他必须把草坪的造价降到最低，即草坪的占地总面积最小。

你能编程帮他解决这个难题吗？

Input

仅一行，包含4个数k1，k2，m，n。k1和k2为正实数，分别表示北墙和南墙的斜率，精确到小数点后第一位。

m和n为正整数，分别表示北墙角和南墙角的草坪的块数。

Output

一个实数，表示草坪的最小占地总面积。精确到小数点后第一位。

2≤m≤n≤100 南北墙距离很远，不会出现南墙草坪和北墙草坪重叠的情况

Sample Input

0.5 0.2 2 4

Sample Output

3000.0

HINT

---

题解Here!

考试的题，然后模拟退火成功弄到了$90$分。

不过当然是对着测试数据一次一次滴调玄学参数弄成的。。。

然后$DP$正解被集体$hack$了。。。

主要看的是这个巨佬的题解：链接。

$\#1:\quad\text{DP+优化}$：（未填坑。。）

$\#2:\quad\text{贪心}$：

我们知道，对于一块长度一定的矩形，将其均分，一定能得到最小面积的矩形分割方案。

证明？如下：

假设当前这个矩形长度为$4x$，并且矩形对角线斜率为$k$。

再假设我们当前要分成两个矩形，那么有两种分法：$x,3x$与$2x,2x$。

显然$$S_1=kx^2+9kx^2=10kx^2>S_2=4x^2+4x^2=8x^2$$

然后分$3,4,5,...$块时依次类推。

于是得证。

当然还可以用不等式证明，比这个更严谨，不过为了通俗易懂我就这么做了。

然后就可以贪心了。

当$n \% m==0$时，直接均分南北墙就是最优值。

而当$n \% m>0$时，应该使其余数尽量均分在每一段上。

所以此时整个图形可以分为$2$段：

前段有$m-n \% m$块北墙草坪，每段对应$\lfloor\frac{n}{m}\rfloor$块南墙草坪；

后段有$n \% m$块北墙草坪，每段对应$\lfloor\frac{n}{m}\rfloor+1$块南墙草坪。
所以可以枚举两段长度，取最小面积。

并且对于其中一段，其分配的面积也应该平均分配，如果余数不为$0$，也要把余数再平均分配。

然后，我们发现：枚举的长度对应的面积是单峰的！

所以当发现一个长度对应的面积大于当前最优解就可以直接跳出循环输出答案了。

然后就做完了。

时间复杂度$O(100)$，跑的飞快！

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<ctime>
#define MAXN 110
#define eps (1e-8)
using namespace std;
int n,m,lnorth,rnorth,lsouth,rsouth;
double k1,k2,ans=(1LL<<62);
inline double square(int x){return 1.00*x*x;}
inline double min(double x,double y){return x<y?x:y;}
inline double Area(int num,int len,double k){
	if(!num)return 0;
	double s=square(len/num)*k*(num-len%num)+square(len/num+1)*k*(len%num);
	return s;
}
void work(){
	if(n%m==0){
		ans=Area(lnorth,100,k1)+Area(lnorth*lsouth,100,k2);
		printf("%.1lf\n",ans);
		return;
	}
	for(int i=lnorth*lsouth;i<=100-rnorth*rsouth;i++){
		double area=Area(lnorth,i,k1)+Area(rnorth,100-i,k1)+Area(lnorth*lsouth,i,k2)+Area(rnorth*rsouth,100-i,k2);
		if(ans>area)ans=area;
		else break;
	}
	printf("%.1lf\n",ans);
}
void init(){
	scanf("%lf%lf%d%d",&k1,&k2,&m,&n);
	lnorth=m-n%m;rnorth=n%m;
	lsouth=n/m;rsouth=n/m+1;
}
int main(){
	init();
	work();
	return 0;
}