POJ-1422 Air Raid---二分图匹配&最小路径覆盖
题目链接:
https://vjudge.net/problem/POJ-1422
题目大意:
有n个点和m条有向边,现在要在点上放一些伞兵,然后伞兵沿着图走,直到不能走为止
每条边只能是一个伞兵走过,问最少放多少个伞兵
解题思路:
最小路径覆盖=|G|-最大匹配数
重点是,建图的时候,把每个点分成两部分A1,A2,如果有边A->B,就在二分图上加A1->B2
这里的巧妙可以看下面的例子
对于一条路径,起点的入度为0,终点的出度为0,中间节点的出入度都为1。
每一个点最多只能有1个后继,同时每一个点最多只能有1个前驱。
假如我们选择了一条边(u,v),也就等价于把前驱u和后继v匹配上了。这样前驱u和后继v就不能和其他节点匹配。
利用这个我们可以这样来构图:
将每一个点拆分成2个,分别表示它作为前驱节点和后继节点。将所有的前驱节点作为A部,所有后继节点作为B部。
接下来进行连边,若原图中存在一条边(u,v),则连接A部的u和B部的v。
在这个上面做一个最大二分匹配:
其中实线表示被选中的匹配,虚线表示未被选中的。
有没有发现,和原图刚好有着对应的关系。
这样在匹配结束的时候,我们就可以直接通过匹配的情况来确定选中的路径。
但是如何保证这样就能得到最小的路径覆盖呢?
如果一个点是路径起点的话,它在B部的节点一定是没有匹配上的。
经过最大匹配算法后,B部剩下没有被匹配的点一定是最少的,也就对应了最小需要的路径数。
所以最小路径覆盖的结果才是N-最大匹配数。
(上述例子转载自:https://blog.csdn.net/tramp_1/article/details/52742572)
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
typedef pair<int, int> Pair ;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = + ;
int T, n, m, cases;
vector<int>G[maxn];
int cx[maxn], cy[maxn];
bool vis[maxn];
bool dfs(int u)
{
for(int i = ; i < G[u].size(); i++)
{
int v = G[u][i];
if(!vis[v])
{
vis[v] =;//加入增广路
if(cy[v] == - || dfs(cy[v]))
{
cx[u] = v;
cy[v] = u;
return ;
}
}
}
return ;
}
int maxmatch()
{
int ans = ;
memset(cx, -, sizeof(cx));
memset(cy, -, sizeof(cy));
for(int i = ; i <= n; i++)
{
if(cx[i] == -)
{
memset(vis, , sizeof(vis));
ans += dfs(i);
}
}
return ans;
}
int main()
{
cin >> T;
while(T--)
{
scanf("%d%d", &n, &m);
int x, y;
for(int i = ; i <= n; i++)G[i].clear();
for(int i = ; i <= m; i++)
{
scanf("%d%d", &x, &y);
G[x].push_back(y);
}
cout<<(n - maxmatch())<<endl;
}
return ;
}
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