【bzoj3270】博物馆

同样是高斯消元，我写的版本就受到了歧视

我怎么又犯把 $j$ 打成 $i$ 这种 $sb$ 错误

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题意

一张无向图，两个人分别从 $s_1$ 号点和 $s2$ 号点开始，每轮两人都会同时进行一次以下操作：有 $p_i$ 的概率留在原地，剩下的 $1-p_i$ 的概率等概率随机选择一条出边走到连向的点。问两人在每个点相遇的概率（边上不相遇）。

$n\le 20$

题解

首先得知道，这种题的概率就是期望，因为在点 $i$ 相遇（$1\le i\le n$）的期望和是 $1$，总概率也是 $1$。

期望和概率的一个重要差别就是期望可以不在 $[0,1]$ 范围内，之后转化的时候记住了。

这种题都有一种特性，就是感觉可以拓扑排序 $dp$。

但拓扑排序只适用于 $DAG$（有向无环图），对于有环图（包括无向图），没法确定 $dp$ 转移顺序。

好了，现在我们降低自己的智商，回到小学状态，想想在小学时你怎么做这种难题。

如果你学过小学奥数（没学过也无所谓吧），应该能想到列方程。

那方程是什么？就是我们的 $dp$ 式子，因为我们只是不确定转移顺序，但式子肯定是对的。

众所周知，方程是互相之间都有约束性的，解必须同时满足所有方程，所以可以解决没法确定转移顺序的情况。

所以这是高斯消元入门题。

由于 $n\le 20$，时间空间都随便用，先不用管会不会爆。

考虑正常 $dp$，设 $f(i,j)$ 表示两人分别在点 $i,j$ 的概率。

那 $f(i,j)$ 可以从它自己及所有直接相连的点转移过来。

我们再枚举哪个点转 $x$ 移到点 $i$，哪个点 $y$ 转移到点 $j$。

分类讨论，

当 $i=x,\space j=y$ 时，从 $f(x,y)$ 转移到 $f(i,j)$ 的概率是 $p_x\times p_y$；

当 $i=x,\space j≠y$ 时，从 $f(x,y)$ 转移到 $f(i,j)$ 的概率是 $p_x\times (1-p_y)/du_y$；

当 $i≠x,\space j=y$ 时，从 $f(x,y)$ 转移到 $f(i,j)$ 的概率是 $(1-p_x)\times p_y/du_x$；

当 $i≠x,\space j≠y$ 时，从 $f(x,y)$ 转移到 $f(i,j)$ 的概率是 $(1-p_x)\times (1-p_y)/du_x/du_y$；

其中 $du_x$ 表示点 $x$ 的度（就是有多少个点与它直接相连），注意点 $x$ 自己不算。

我们把所有的 $f(i,j)\space |\space 1\le i\le n,\space 1\le j\le n$ 都看作一个未知数，这样方程组共有 $n^2$ 个未知数，并且我们知道一个未知数表示的二元组（就是两人的位置）到另一个未知数表示的二元组的概率，也就是转移系数（其实就是系数，比如状态 $A$ 有 $k$ 的概率转移到 $B$，方程中就是 $B=kA$）是多少，这样就可以把所有转移系数列成矩阵，解方程组了。

一行方程大概长这样（区分了一下 $i,x$ 和 $j,y$） $$f(i,j) \space =\space f(i,j)\times ... + f(i,y)\times ... + f(x,j)\times ... + f(x,y)\times ...$$

把等号左边的 $f(i,j)$ 移到右边得到 $$0 \space =\space f(i,j)\times ... + f(i,y)\times ... + f(x,j)\times ... + f(x,y)\times ... - f(i,j)$$

也就是对于转移到的状态 $f(i,j)$，它对应的那行方程 等号右边的 $f(i,j)$ 那项的系数先减 $1$。

这个移项处理是高斯消元的终点，把未知数统一移到一边，常数统一移到另一边，省得再判等号两边的未知数。

起点作为被转移项时，其方程的等号左边是 $-1$，因为两人一开始就都在起点，所以已经期望有 $1$ 次到达这种状态，等号右边（所有未知数那边）就加了 $1$，移项到另一边就变成减 $1$。

再注意一点，两人终止的状态不再往其它状态转移，即两人的转移来源点 $x$ 和 $y$ 不能相等。

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;++i)
 #define dwn(i,x,y) for(int i=x;i>=y;--i)
 #define rep_e(i,u) for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt)
 #define ll long long
 #define N 22
 #define eps 1e-7
 using namespace std;
 inline int read(){
     int x=; bool f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=;
     for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<)+(x<<)+(c^'');
     if(f) return x;
     return -x;
 }
 int n,m,a,b;
 double p[N],dp[N*N][N*N],ans[N*N];
 struct edge{int v,nxt;}e[(N*N)<<];
 int hd[N],cnt,du[N];
 inline void add(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,hd[u]}, hd[u]=cnt;}
 inline int getCnt(int x,int y){return (x-)*n+y;}
 bool Gauss(int n){
     rep(i,,n){
         int r;
         //cout<<"wow:"<<i<<endl;
         for(r=i; r<=n && fabs(dp[i][r])<eps; ++r);

         if(fabs(dp[i][r])<eps) return ;
         /*
             rep(i,1,n){
                 rep(j,1,n+1) cout<<dp[i][j]<<' ';
                 cout<<endl;
             }*/
         if(i^r) swap(dp[i],dp[r]);
         /*
             rep(i,1,n){
                 rep(j,1,n+1) cout<<dp[i][j]<<' ';
                 cout<<endl;
             }*/
         double div=dp[i][i];
         //cout<<div<<endl;
         rep(j,i,n+) dp[i][j]/=div;
         rep(j,i+,n){
             div=dp[j][i];
             rep(k,i,n+)
                 dp[j][k]-=dp[i][k]*div;
         }
     }
     /*
             rep(i,1,n){
                 rep(j,1,n+1) cout<<dp[i][j]<<' ';
                 cout<<endl;
             }*/
     ans[n]=dp[n][n+];
     dwn(i,n-,){
         ans[i]=dp[i][n+];
         rep(j,i+,n) ans[i]-=ans[j]*dp[i][j];
     }
     /*
     rep(i,1,n){
         ans[i]=dp[fd][n+1]/dp[fd][fd];
     }*/
     return ;
 }
 int main(){
     n=read(),m=read(),a=read(),b=read();
     int u,v,all=n*n;
     rep(i,,n) add(i,i);
     rep(i,,m)
         u=read(),v=read(),
         ++du[u],++du[v],
         add(u,v),add(v,u);
     rep(i,,n)
         cin>>p[i];
     dp[getCnt(a,b)][all+]=-;
     rep(i,,n)
         rep(j,,n){
             int cnt1=getCnt(i,j);
             --dp[cnt1][cnt1]; //i=j时自己不能转移到自己，所以自己给自己的转移的期望次数-1
             rep_e(ii,i)
                 rep_e(jj,j){
                     int x=e[ii].v, y=e[jj].v;
                     //cout<<"try:"<<i<<' '<<j<<' '<<x<<' '<<y<<endl;
                     if(x^y){
                         int cnt2=getCnt(x,y);
                         if(i==x && j==y) dp[cnt1][cnt2]+=p[i]*p[j];
                         else if(i==x) dp[cnt1][cnt2]+=p[i]*(-p[y])/du[y];
                         else if(j==y) dp[cnt1][cnt2]+=(-p[x])*p[j]/du[x];
                         else dp[cnt1][cnt2]+=(-p[x])*(-p[y])/du[x]/du[y];
                         //cout<<i<<' '<<j<<' '<<x<<' '<<y<<' '<<cnt1<<' '<<cnt2<<' '<<p[x]<<' '<<p[y]<<' '<<du[x]<<' '<<du[y]<<' '<<dp[cnt1][cnt2]<<endl;
                     }
                 }
         }

     if(!Gauss(all)){printf("I AK IOI!\n"); return -;}
     rep(i,,n) printf("%.6lf ",ans[getCnt(i,i)]);
     return ;
 }
 /*
 3 2 1 3
 1 2
 2 3
 0.5
 0.5
 0.5
 显然，ans[1]和ans[3]应该相等，否则就是程序写错了
 */

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怎么网上那么多人写的代码都一个样（包括高斯消元部分），这么不求上进的吗？

我写的高斯消元跟他们不一样，一开始结果不对，我还以为我的高斯消元是错的。

后来调对了，才意识到只是被鄙视了而已，因为我跟其他人写的都不一样。

然后呢？