Codeforces 1847 A-F

题面

A B C D E F

难度：红 橙 黄 蓝 紫 紫

题解

B

题目大意：找到一组分割方法，使得 \(\sum _{i=1} ^ k (\text{&} _{j=l_i} ^ {r_i} a_j)\) 取得最小值时使 \(k\) 最大，输出 \(k\)。其中 \(\text{&}\) 表示按位与操作。

题目分析：

&	0	1
0	0	0
1	0	1

不难发现，因为 \(a \in \mathbb{N}\)，所以 $$a, b \ge a \& b \tag{1}$$ $$a + b \ge a \& b \tag{2}$$且对于公式 (2)，当且仅当 \(a=b=0\) 时取等。

因此考虑贪心。设 \(x = \text{&} _{i=1} ^ {n} a_i\)。对于 \(x > 0\) 的 情况，根据 (2)，分成一组的和是最优的，因此 \(k = 1\)；对于 \(x = 0\) 的情况，只要将原数组分为几段区间按位与都为 \(0\) 的区间即可。

代码略。

C

题目大意：对于数组 \(a\)，它的前 \(n\) 个数由题目给定，而 \(a_i(i > n) = \oplus _{j=k} ^ {i-1} a_j\)，其中 \(k\) 不确定，\(1 \le k \le i - 1\)，而 \(\oplus\) 表示按位异或。求 \(a\) 中元素的最大可能值。

这套题怎么这么多位运算？

题目分析：

\(\oplus\)	0	1
0	0	1
1	1	0

题目给定 \(a_i < 2^8 (1\le i\le n)\)，所以由按位与的定义得到全体 \(a_i < 2^8\)。

设 \(a_p = \oplus _{i=l} ^{p-1} a_i\)，则 \(a_{p+1}=\oplus _{i=k} ^{p} a_i=(\oplus _{i=k} ^{p-1} a_i) \oplus a_p = (\oplus _{i=k} ^{p-1} a_i) \oplus (\oplus _{i=l} ^{p-1} a_i) = \oplus _{i=min(k, l)} ^{max(k, l)-1} a_i\)。

于是问题转化为求最大字段异或。又因为异或运算满足结合律，可以用前缀异或加速。

问题再次转化为：求前缀异或数组中，任意两数异或的最大值。

由于 \(a_i < 2^8\)，所以前缀异或数组中元素的值也在这个值域内。因此考虑用桶记录前缀数组中的数，然后与前缀数组进行“配对”求异或值。时间复杂度 \(O(2^8 \times n)\)，可以通过这道题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, n, a[100010];
bool x[100010];
int main() {
	scanf("%d", &t);
	while (t--) {
		memset(x, 0, sizeof(x));
		scanf("%d", &n);
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			scanf("%d", &a[i]);
			a[i] ^= a[i - 1];
			x[a[i]] = 1;
			ans = max(ans, a[i]);
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 0; j < 256; j++) {
				if (x[j]) {
					ans = max(ans, a[i] ^ j);
				}
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

D

从这里开始难度陡增。

（未完）