CodeForces 407C 组合数学（详解）

题面：

　　http://codeforces.com/problemset/problem/407/C

　　一句话题意：给一个长度为n的序列g，m次操作，每次操作（l,r,k）表示将g[l]~g[r]的每个数g[j]（l<=j<=r）加上c(j-l+k,k)，输出经过m操作后的最终序列（mod 1e9+7）(n,m<=1e5,k<=100)。

题解：

　　首先看到这个题瞬间想到数据结构，但发现一次修改操作中每个点的增加值都不同后果断放弃。又因为发现这题只有一次询问，就考虑能不能先将每次操作存下来，最后再进行统一递推。又看到了k好小。。于是就可以乱搞了！

　　我们先考虑组合数的递推，c(n,m)=c(n-1,m)+c(n-1,m-1)。那么观察操作，假设我们在修改g[x],并且x>l，那么g[x-1]已经修改完了，考虑g[x-1]的增加值为c(x-1-l+k,k),而g[x]的值增加了c(x-l+k,k),又因为c(x-l+k,k)=c(x-l-1,k)+c(x-l-1,k-1)，但是，显然只存下每个点的c(x-l+k,k)和每个点的c(x-l+k,k-1)是远远不够的，因为这样的话就只能推出c(x-l+k+1,k),而无法推出c(x-l+k+1,k-1),接着就无法推出c(x-l+k+2,k)，等于说这次操作就无法递推完。因此我们只要在每一次操作的l处处理出c(k,0~k),就可以做到递推出每次操作对于每个数的增加值，欸那这有什么用呢，欸当然有用了！又因为加法有交换律和结合律，所以我们只要在每个l上计算好，在r+1处减去，就可以O(n)递推出整个序列！因为每在一个l处要处理c(k,0~k)，处理m次，所以操作的总复杂度为O(mk)，最终递推每推一步都要推k次组合数。因此整套代码的总复杂度为O(mk+nk)!!!!!

　　如果还有不懂的那就看代码然后感性理解一下qwq

　　P.S.　对于组合数我们是要处理阶乘的逆元(inv)的，有一个O(n)递推1~n逆元的方法：

　　　　首先我们考虑如果知道了x+1~n的阶乘的inv，如何得到x!的inv。。

　　　　根据逆元的定义：n!*inv(n!)=(n-1)!*n*inv(n!)=1=(n-1)!*inv((n-1)!)，，欸所以inv((n-1)!)=inv(n!)*n

代码：

 #include<bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;
 typedef double dd;
 const int maxn=1e5+;
 const ll p=1e9+;
 ll fac[maxn],inv[maxn],g[maxn],ad[maxn][];
 int n,m;

 ll qpow(ll x,ll b){
     ll sum=;
     while(b){
         if(b&) sum=sum*x%p;
         x=x*x%p; b>>=;
     }
     return sum;
 }

 void init(){
     fac[]=;
     for(int i=;i<=;i++)
         fac[i]=(ll)i*fac[i-]%p;
     inv[]=qpow(fac[],p-);
     for(int i=-;i>=;i--)
         inv[i]=(ll)inv[i+]*(i+)%p;
 }

 ll c(int x,int y){
     if(x<y) return ;
     return fac[x]*inv[y]%p*inv[x-y]%p;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     init();
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%lld",&g[i]);

     int l,r,k;
     for(int j=;j<=m;j++){
         scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
         for(int i=;i<=k;i++)
             ad[l][i]=(ad[l][i]+c(k,k-i))%p,
             ad[r+][i]=(ad[r+][i]-c(r+-l+k,k-i)+p)%p;
     }

     for(int i=;i<=n;i++)
         for(int j=;j>=;j--)
                 ad[i][j]=(ad[i][j]+ad[i-][j]+ad[i-][j+]+p)%p;

     for(int i=;i<=n;i++)
         printf("%lld ",(g[i]+ad[i][]+p)%p);    

     return ;
 }