luogu3263/bzoj4002 有意义的字符串 (数学+矩阵快速幂)

首先我们发现$\frac{b+\sqrt{d}}{2}$这个形式好像一元二次方程的求根公式啊(???反正我发现不了)

然后我们又想到虽然这个东西不好求但是$(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n$好像挺好求的啊(???反正我想不到)（由题目给的范围，这玩意在(-1,1)）

于是把这个方程写出来:$x^2-b+\frac{b^2-d}{4}=0$，设它的两根是$x_1=\frac{b+\sqrt{d}}{2} , x_2=\frac{b-\sqrt{d}}{2}$

于是就是要求$\lfloor x_1^n+x_2^n-x_2^n \rfloor$

我们把$x_1^n+x_2^n$单拎出来，分解一下，得到$x_1^n+x_2^n = (x_1+x_2)(x_1^{n-1}+x_2^{n-1}) - x_1x_2(x_1^{n-2}+x_2^{n-2}) $

然后$x_1+x_2$和$x_1x_2$可以用韦达定理算，再把$x_1^i+x_2^i$设成f[i]，就可以用矩阵快速幂优化了

可以发现它是个整数，最后讨论一下$x_2^n$就行了

（模数巨大，不光要用龟速乘，还要用unsigned long long）

 #include<bits/stdc++.h>
 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef unsigned long long ull;
 typedef pair<int,int> pa;
 const ull P=;

 inline ll rd(){
     ll x=;char c=getchar();int neg=;
     while(c<''||c>''){if(c=='-') neg=-;c=getchar();}
     while(c>=''&&c<='') x=x*+c-'',c=getchar();
     return x*neg;
 }

 ull fmul(ull a,ull b){
     ull re=;
     while(b){
         if(b&) re=(re+a)%P;
         a=(a+a)%P,b>>=;
     }return re;
 }

 ull b,d,n;

 ull fpow(ull x){
     ull f[];f[]=b,f[]=;
     ull m[][],tmp[][];
     m[][]=b,m[][]=,m[][]=(d-b*b)/,m[][]=;
     while(x){
         if(x&){
             CLR(tmp,);
             for(int i=;i<=;i++){
                 for(int j=;j<=;j++){
                     tmp[][i]=(tmp[][i]+fmul(f[j],m[j][i]))%P;
                 }
             }
             f[]=tmp[][],f[]=tmp[][];
         }
         CLR(tmp,);
         for(int i=;i<=;i++){
             for(int j=;j<=;j++){
                 for(int k=;k<=;k++){
                     tmp[i][j]=(tmp[i][j]+fmul(m[i][k],m[k][j]))%P;
                 }
             }
         }
         memcpy(m,tmp,sizeof(m));
         x>>=;
     }return f[];
 }

 int main(){
     //freopen("","r",stdin);
     int i,j,k;
     b=rd(),d=rd(),n=rd();
     if(n==) printf("1\n");
     else{
         ull ans=fpow(n-);
         if(!(n&)&&d!=b*b) ans=(P+ans-)%P;
         printf("%lld\n",ans);
     }

     return ;
 }