HDU 1018(阶乘位数 数学)

题意是求 n 的阶乘的位数。

直接求 n 的阶乘再求其位数是不行的，开始时思路很扯淡，想直接用一个数组存每个数阶乘的位数，用变量 tmp 去存 n 与 n - 1 的阶乘的最高位的数的乘积，那么 n 的阶乘的位数就等于 n - 1 的阶乘的位数加 tmp 的位数再减去 1。

但这种做法是不对的，例如有可能最高位与 n 的乘积结果是 99，而其实 n 与其他位的乘积结果是能进到这一位的，也就是说实际应该在 n - 1 的阶乘位数上增加 2 ( 3 -1 ) 位。而在对样例测试时也发现 n 为 10 的时候结果尚正确，但当 n 为 20 的时候就比正确结果少了 1，也就是说发生了上述情况。

抱着侥幸心理，又再次将每次乘以最高位的做法调整成了每次乘以最高的两位，这一次当 n 为 20 时结果依然正确，但是内存超了......

错误代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int tmp,dig[];
 int getdigit(int n)
 {
     int a();
     while(n)
     {
         n/=;
         a++;
     }
     return a;
 }
 void make()
 {
     int digit;
     dig[] = ;
     dig[] = ;
     dig[] = ;
     dig[] = ;
     tmp = ;
     for(int i = ; i <= ; i++)
     {
         tmp *= i;
         digit = getdigit(tmp);
         dig[i] = digit + dig[i-] - ;
         for(int j = ; j < digit; j++) tmp/=;
     }
 }
 int main()
 {
     int t,ans,n;
     scanf("%d",&t);
     make();
     while(t--)
     {
         scanf("%d",&n);
         printf("%d\n",dig[n]);
     }
     return ;
 }

在借鉴了其他人的做法后，才觉得对这道题有了一点正确的思路：

首先，一个数 x 的位数可以用以 10 为底取对数再向上取整的方法求得，即 digit( x ) = ceil ( log10( x ) )；

那么，阶乘的位数可以直接求：digit( n! ) = ∑ log10( i ) （ i 从 1 取到 n ）

代码如下：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 int main()
 {
     int t,n;
     double ans;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
         ans = ;
         scanf("%d",&n);
         for(int i = ; i <= n; i++)
         {
             ans += log10(i);
         }
         printf("%d\n",(int)ans+);
     }
     return ;
 }

另外，在求 n 的阶乘的时候用 Stirling 公式 也是很好的做法，

代码如下：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const double pi = acos(-);
 int main()
 {
     int t,n,ans;
     scanf("%d",&t);
     while(t--)
     {
         scanf("%d",&n);
         ans = ceil((log(n)*n - n + 0.5*log(*pi*n) )/ log());
         printf("%d\n",ans);
     }
     return ;
 }