[luogu2617][bzoj1901][Zju2112]Dynamic Rankings【树套树+树状数组+主席树】

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【传送门】

题目大意

请你设计一个数据结构，支持单点修改，区间查询排名k。

感想（以下省略脏话inf个字）

真的强力吹爆洛谷数据，一般的树套树还给我T了一般的点，加强的待修主席树还给我卡了几发空间。
我一共交了15发，正确率被这道题目拉低了。。。
……

分析

好像有人用了分块水过这道题目，然后被管理员的加强数据卡到怀疑人生。。。 （不讲骚话了）
考虑最简单的树套树，二逼平衡树的那个，【传送门】。
但是这里肯定是T掉了。
nlog3n在加强数据中会跑到\(4 \times 10^8\)。别想用这个方法水过去了。
附加去世代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 100005
#define lc (nod << 1)
#define rc (nod << 1 | 1)
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x) {
    x = 0; T fl = 1; char ch = 0;
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar())
        if (ch == '-') fl = -1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    x *= fl;
}
struct node {
    int cnt, val, sz, ch[2], rd;
    void init(int x) {
        val = x; sz = cnt = 1; ch[1] = ch[0] = 0; rd = rand() % 100;
    }
}tr[N * 20];
int tot = 0;
int rt[N], a[N];
struct treap {
    #define ls(x) tr[x].ch[0]
    #define rs(x) tr[x].ch[1]
    void pushup(int nod) {
        tr[nod].sz = tr[ls(nod)].sz + tr[rs(nod)].sz + tr[nod].cnt;
    }
    void rotate(int &nod, int d) {
        int k = tr[nod].ch[d];
        tr[nod].ch[d] = tr[k].ch[d ^ 1];
        tr[k].ch[d ^ 1] = nod;
        pushup(nod); pushup(k); nod = k;
    }
    void ins(int &nod, int val) {
        if (!nod) {
            tr[nod = ++ tot].init(val); return;
        }
        tr[nod].sz ++;
        if (tr[nod].val == val) tr[nod].cnt ++;
        else {
            int d = val > tr[nod].val;
            ins(tr[nod].ch[d], val);
            if (tr[nod].rd > tr[tr[nod].ch[d]].rd) rotate(nod, d);
        }
    }
    void del(int &nod, int val) {
        if (!nod) return;
        if (tr[nod].val == val) {
            if (tr[nod].cnt > 1) {
                tr[nod].cnt --; tr[nod].sz --; return;
            }
            int d = tr[ls(nod)].rd > tr[rs(nod)].rd;
            if (ls(nod) == 0 || rs(nod) == 0) nod = ls(nod) + rs(nod);
            else rotate(nod, d), del(nod, val);
        }
        else tr[nod].sz --, del(tr[nod].ch[tr[nod].val < val], val);
    }
    int rk(int nod, int val) {
        if (!nod) return 0;
        if (tr[nod].val == val) return tr[ls(nod)].sz;
        if (tr[nod].val > val) return rk(ls(nod), val);
        else return tr[ls(nod)].sz + tr[nod].cnt + rk(rs(nod), val);
    }
}tp[N << 2];
int n, m;
void build(int nod, int l, int r) {
    for (int i = l; i <= r; i ++) tp[nod].ins(rt[nod], a[i]);
    if (l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(lc, l, mid); build(rc, mid + 1, r);
}
int query_rk(int nod, int l, int r, int ql, int qr, int k) {
    if (ql <= l && r <= qr) return tp[nod].rk(rt[nod], k);
    int mid = (l + r) >> 1, res = 0;
    if (ql <= mid) res += query_rk(lc, l, mid, ql, qr, k);
    if (qr > mid) res += query_rk(rc, mid + 1, r, ql, qr, k);
    return res;
}
void update(int nod, int l, int r, int k, int val) {
    tp[nod].del(rt[nod], a[k]); tp[nod].ins(rt[nod], val);
    if (l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (k <= mid) update(lc, l, mid, k, val);
    else update(rc, mid + 1, r, k, val);
}
int query_fd(int ql, int qr, int k) {
    int l = 0, r = 1e8, res = -1;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (query_rk(1, 1, n, ql, qr, mid) + 1 <= k) res = mid, l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    return res;
}
int main() {
    srand(time(NULL));
    read(n); read(m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) read(a[i]);
    build(1, 1, n);
    while (m --) {
        char opt[5];
        int x, y, z;
        scanf("%s", opt);
        if (opt[0] == 'Q') {
            read(x); read(y); read(z);
            printf("%d\n", query_fd(x, y, z));
        }
        else {
            read(x); read(y);
            update(1, 1, n, x, y);
            a[x] = y;
        }
    }
    return 0;
}

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那么不管上面的东西了。
区间查询排名k，听到这个东西我们就可以想到主席树。
主席树实现这个操作就是，对于每一个数的插入都建一棵线段树，然后每一次查询差值，也就是查询前缀和之间的差。
这个方法依旧适用于这一道题目。
因为有修改的操作，所以普通的主席树就过不掉。
可以比较容易的想到用树状数组来维护前缀和。
前缀和维护的是每一个棵主席树的纵向的前缀和。
然后修改就只需要减掉在修改在加回去。
这个思路是我看着别人代码学到的。
还要离散化一下，因为数据比较大，主席树维护的权值线段树可能会炸掉。

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(2)
#define ll long long
#define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 4000005
#define lowbit(x) (x & -x)
using namespace std;
template <typename T>
inline void read(T &x) {
    x = 0; T fl = 1; char ch = 0;
    for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar())
        if (ch == '-') fl = -1;
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    x *= fl;
}
struct qus_rec {
    int x, y, z;
}qus[N];
int tot = 0, dtot, n, m, a, b;
int v[N], disc[N], rt[N], fg[N], sz[N], ls[N], rs[N], L[N], R[N];
char opt[5];
int find(int x) {
    int l = 1, r = dtot;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) >> 1;
        if (disc[mid] < x) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}
void upd(int lst, int l, int r, int &rt, int w, int x) {
    rt = ++ tot;
    sz[rt] = sz[lst] + x; ls[rt] = ls[lst]; rs[rt] = rs[lst];
    if (l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (w <= mid) upd(ls[lst], l, mid, ls[rt], w, x);
    else upd(rs[lst], mid + 1, r, rs[rt], w, x);
}
int query(int l, int r, int k) {
    if (l == r) return l;
    int sum = 0, mid = (l + r) >> 1;
    for (int i = 1; i <= a; i ++) sum -= sz[ls[L[i]]];
    for (int i = 1; i <= b; i ++) sum += sz[ls[R[i]]];
    if (k <= sum) {
        for (int i = 1; i <= a; i ++) L[i] = ls[L[i]];
        for (int i = 1; i <= b; i ++) R[i] = ls[R[i]];
        return query(l, mid, k);
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= a; i ++) L[i] = rs[L[i]];
        for (int i = 1; i <= b; i ++) R[i] = rs[R[i]];
        return query(mid + 1, r, k - sum);
    }
}
int main() {
    read(n); read(m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        read(v[i]);
        disc[++ dtot] = v[i];
    }
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        scanf("%s", opt);
        scanf("%d%d", &qus[i].x, &qus[i].y);
        if (opt[0] == 'Q') {
            scanf("%d", &qus[i].z);
            fg[i] = 1;
        }
        else disc[++ dtot] = qus[i].y;
    }
    sort(disc + 1, disc + 1 + dtot);
    dtot = unique(disc + 1, disc + 1 + dtot) - disc - 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int t = find(v[i]);
        for (int j = i; j <= n; j += lowbit(j))
            upd(rt[j], 1, dtot, rt[j], t, 1);
    }
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        if (fg[i]) {
            a = 0, b = 0; qus[i].x --;
            for (int j = qus[i].x; j; j -= lowbit(j))
                L[++ a] = rt[j];
            for (int j = qus[i].y; j; j -= lowbit(j))
                R[++ b] = rt[j];
            printf("%d\n", disc[query(1, dtot, qus[i].z)]);
        }
        else {
            int t = find(v[qus[i].x]);
            for (int j = qus[i].x; j <= n; j += lowbit(j))
                upd(rt[j], 1, dtot, rt[j], t, -1);
            v[qus[i].x] = qus[i].y;
            t = find(qus[i].y);
            for (int j = qus[i].x; j <= n; j += lowbit(j))
                upd(rt[j], 1, dtot, rt[j], t, 1);
        }
    }
    return 0;
}

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关于整体二分，我不会，如果有时间那么我就把他补上。