[问题2014S14] 解答

[问题2014S14]  解答

首先, 满足条件的 \(\varphi\) 的全体特征值都为零. 事实上, 任取 \(\varphi\) 的特征值 \(\lambda\), 对应的特征向量为 \(0\neq\xi\in V\), 即 \(\varphi(\xi)=\lambda\xi\), 则由假设可得 \[0=(\varphi(\xi),\xi)=(\lambda\xi,\xi)=\lambda(\xi,\xi),\] 因为 \(\xi\neq 0\), 故 \((\xi,\xi)>0\), 从而 \(\lambda=0\).

我们用反证法来证明结论. 若 \(\varphi\neq 0\), 则 \(\varphi\) 的 Jordan 标准型中至少有一个 Jordan 块的阶数大于 1, 不妨设为 \(J_m(0),\,m\geq 2\). 设这个 Jordan 块对应的基向量为 \(e_1,e_2,\cdots,e_m\), 则有 \[\varphi(e_1)=0,\,\,\varphi(e_2)=e_1,\,\,\cdots.\] 由 \((\varphi(e_2),e_2)=0\) 可得 \((e_1,e_2)=0\). 由此可得 \[0=(\varphi(e_1+e_2),e_1+e_2)=(e_1,e_1+e_2)=(e_1,e_1)>0,\] 引出矛盾.  \(\Box\)