【BZOJ】2154: Crash的数字表格

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2154

题意：求$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} lcm(i, j)$, $n,m<=1e7$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=1e7+10, MD=20101009;
int p[N], pcnt, n, m;
bool np[N];
ll g[N];
void init() {
	g[1]=1;
	int i, j, t;
	for(i=2; i<=n; ++i) {
		if(!np[i]) p[++pcnt]=i, g[i]=1-i;
		for(j=1; j<=pcnt; ++j) {
			t=p[j]*i; if(t>n) break;
			np[t]=1;
			if(i%p[j]==0) { g[t]=g[i]; break; }
			g[t]=g[i]*(1-p[j]);
		}
	}
	for(i=2; i<=n; ++i) g[i]*=i;
	for(i=1; i<=n; ++i) g[i]+=g[i-1], g[i]%=MD;
}
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m); if(n>m) swap(n, m);
	init();
	ll ans=0, t1, t2;
	for(int i=1, pos=0; i<=n; i=pos+1) {
		pos=min(n/(n/i), m/(m/i));
		t1=((ll)(n/i)*(n/i+1)/2)%MD;
		t2=((ll)(m/i)*(m/i+1)/2)%MD;
		ans+=((g[pos]-g[i-1])*((t1*t2)%MD))%MD;
		ans%=MD;
	}
	printf("%lld\n", ((ans%MD)+MD)%MD);
	return 0;
}

　　

吐槽：

妈妈我再也不相信科学了QAQ..............这种题各种不知道哪里爆+各种不知道哪里爆让我十分蛋疼QAQ

sb错1：忘记最后除法不一定是整数QAQ，那么一定要在中途能保证是整数的就算出来啊= =后边算不出来的啊喂。。

sb错2：各种爆longlong让我十分无语，取太多mod又会很慢= =（看来为了保险起见...以后哪里要mod就mod...不要乱估计啦。。。

然后不明觉厉...为何我查询已经做到$O(n^{0.5} + m^{0.5})$了，还是那么慢？那些200多ms的是什么神做法QAQ难道是分块打表了吗QAQ

本题很恶心，为了推出$O(n^{0.5} + m^{0.5})$的查询我推了十分钟，然后各种wa以为是推错了QAQ原来是精度，妈妈压。。。

（我真的有不想写推导公式的过程的冲动QAQ

下边均设$n<=m$

$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} lcm(i, j) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \frac{ij}{(i,j)} $$

然后我们要想枚举$d=(i,j)$，那么就要确定$ij$怎么取，显然我们只需要先除去$i$和$j$的$d$，也就是$(i/d,j/d)=1$就行了，那么设

$$F(x, y) = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} ij[(i,j)=1]$$

那么原式变成

$$
\sum_{d=1}^{n} \frac{d^2 F(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor, \lfloor \frac{m}{d} \rfloor)}{d} = \sum_{d=1}^{n} d F(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor, \lfloor \frac{m}{d} \rfloor)
$$

考虑求$F(x,y)$

$$
\begin{align}
F(x, y) & = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} ij[(i,j)=1] \\
& = \sum_{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} ij \sum_{d|(i,j)} \mu (d) \\
& = \sum_{d=1}^{x} \mu (d) \sum_{d|i}^{x} i \sum_{d|j}^{y} j \\
& = \sum_{d=1}^{x} \mu (d) d^2 \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{x}{d} \rfloor} i \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{y}{d} \rfloor} j \\
& = \sum_{d=1}^{x} \mu (d) d^2 \frac{\lfloor \frac{x}{d} \rfloor (\lfloor \frac{x}{d} \rfloor +1)}{2} \frac{\lfloor \frac{y}{d} \rfloor (\lfloor \frac{y}{d} \rfloor +1)}{2} \\
\end{align}
$$

带回原式得

$$
\begin{align}
& \sum_{d=1}^{n} d F(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor, \lfloor \frac{m}{d} \rfloor) \\
= & \sum_{d=1}^{n} d \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu (i) i^2 \frac{\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}{i} \rfloor (\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}{i} \rfloor +1)}{2} \frac{\lfloor \frac{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}{i} \rfloor (\lfloor \frac{\lfloor \frac{m}{d} \rfloor}{i} \rfloor +1)}{2} \\
= & \sum_{d=1}^{n} d \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu (i) i^2 \frac{\lfloor \frac{n}{di} \rfloor (\lfloor \frac{n}{di} \rfloor +1)}{2} \frac{\lfloor \frac{m}{di} \rfloor (\lfloor \frac{m}{di} \rfloor +1)}{2} \\
\end{align}
$$

现在已经可以$O(\sqrt n \sqrt n) = O(n)$单次查询了，但是不够理想，我们继续化简

令$T=di$，则$i|T, d=T/i$，换掉指标，得

$$
\begin{align}
& \sum_{d=1}^{n} d \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \mu (i) i^2 \frac{\lfloor \frac{n}{di} \rfloor (\lfloor \frac{n}{di} \rfloor +1)}{2} \frac{\lfloor \frac{m}{di} \rfloor (\lfloor \frac{m}{di} \rfloor +1)}{2} \\
= &
\sum_{T=1}^{n} \frac{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor (\lfloor \frac{n}{T} \rfloor +1)}{2} \frac{\lfloor \frac{m}{T} \rfloor (\lfloor \frac{m}{T} \rfloor +1)}{2} \sum_{i|T} \frac{T}{i} \mu (i) i^2 \\
= & \sum_{T=1}^{n} \frac{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor (\lfloor \frac{n}{T} \rfloor +1)}{2} \frac{\lfloor \frac{m}{T} \rfloor (\lfloor \frac{m}{T} \rfloor +1)}{2} T \sum_{i|T} \mu (i) i \\
\end{align}
$$

设$g(T)=T \sum_{i|T} \mu (i) i$，我们再设$f(T)=\sum_{i|T} \mu (i) i$那么$g(T)=Tf(T)$，考虑求$f(T)$

在线性筛中，外层为$k$，内层为$p_y$，所以求$f(kp_y)=\sum_{i|kp_y} \mu(i) i$
当$p_y|k$时
当$i$取的数的因子中不包含新加入的$p_y$时，答案就是$f(k)$
当$i$取包含新加入的因子$p_y$时，由于此时$p_y$指数已经$>=2$，所以$\mu (i)=0$，因此贡献为0
综上，当$p_y|k$时，答案为$f(k)$

当$p_y \nmid k$时
当$i$取的数的因子中不包含新加入的$p_y$时，同上，答案是$f(k)$
当$i$取的数的因子包含新加入的$p_y$时，由于指数为$1$，所以我们考虑$i=ap_y$，原式变为

$$
\begin{align}
& \sum_{i|T} \mu(i) i \\
= & \sum_{ap_y|kp_y} \mu (ap_y) ap_y \\
= & p_y \sum_{a|k} \mu (a) \mu(p_y) a \\
= & -p_y \sum_{a|k} \mu(a) a \\
= & -p_y f(k) \\
\end{align}
$$

综上，当$p_y \nmid k$时，答案为$(1-p_y)f(k)$

然后线性筛随便搞搞即可，最后答案就是

$$\sum_{T=1}^{n} \frac{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor (\lfloor \frac{n}{T} \rfloor +1)}{2} \frac{\lfloor \frac{m}{T} \rfloor (\lfloor \frac{m}{T} \rfloor +1)}{2} g(T) $$

分块搞搞就行了