[学习笔记]概率&期望

概率的性质

• 非负性:对于每一个事件$A,0\;\leq\;P(A)\;\leq\;1$.
• 规范性:对于必然事件$S,P(S)=1$;对于不可能事件$A,P(A)=0$.
• 容斥性:对于任意两个事件$A,B,P(A\;\cup\;B)=P(A)+P(B)-P(A\;\cap\;B)$.
• 互斥事件的可加性:设$A_1,A_2,...A_n$是互斥的$n$个事件,则$P(A_1\;\cup\;A2\;\cup\;...\;\cup\;A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)$.如果$A,B$互为对立事件,则事件$A,B$一定是互斥的,而$A\;\cup\;B$为必然事件,所以,$P(A\;\cup\;B)=P(A)+P(B)=1$,即对立事件概率之和为$1$.
• 独立事件的可乘性:如果事件$A$是否发生对事件$B$发生的概率没有影响,同时事件$B$是否发生对事件$A$发生的概率也没有影响,则称$A,B$是相互独立的事件.有$P(A\;\cap\;B)=P(A)\;\times\;P(B)$,即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.推广到$n$个相互独立的事件,则:$P(A_1\;\cap\;A_2\;\cap\;...\;\cap\;A_n)=P(A_1)\;\times\;P(A_2)\;\times\dots\times\;P(A_n)$.
• 独立重复试验的"伯努利大数定理":如果在一次试验中某事件发生的概率为$p$,不发生的概率为$q$,则在$n$次试验中该事件至少发生$m$次的概率等于$(p+q)^n$的展开式中从$p^n$到包括$p^mq^{n-m}$为止的各项之和.如果在一次试验中某事件发生的概率为$p$,那么在$n$次独立重复试验中这个事件恰好发生$k$次$(0$$\leq$$k$$\leq$$n)$的概率为:$C_n^k$$\times$$p^k$$\times$$(1-p)^{n-k}$.

期望的性质

• 期望的线性性:对于任意随机变量$X,Y$以及常量$a,b$,有:$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$.当两个随机变量$X,Y$独立且各自都有一个已定义的期望时,有:$E(XY)=E(X)E(Y)$.
• 期望的和等于和的期望.

例题

• 取球

有$r$个红球,$b$个蓝球在一个袋子中.两个玩家轮流从袋子中取球,每个人每次可以取$1-n$个球,但在他把球拿出袋子之前,他并不知道所取球的颜色.每次球被取出袋子后,它们的颜色被公布给所有人.取走最后一个红球的人输.

在两个玩家都采取最优策略时,先手的胜率是多少?

$1\;\leq\;r,b\;\leq\;100,1\;\leq\;n\;\leq\;10$.

$f[r][b]$表示还剩$r$个红球和$b$个蓝球时的胜率.

$f[r][b]=max\{\sum_{j=1}^{min(r-1,i)}(\frac{C_r^j\;\times\;C_b^{i-j}}{C_{r+b}^i}\;\times\;(1-f[r-j][b-i+j]))\}(i\in[1,n])$

(取$i$个球,有可能为$j$个红球,$i-j$个蓝球,红球不能全取光).

• 取球II

有$r$个红球,$b$个蓝球在一个袋子中.两个玩家轮流从袋子中取球,每个人每次可以取$1-n$个球,但在他把球拿出袋子之前,他并不知道所取球的颜色.每次球被取出袋子后,它们的颜色被公布给所有人.取走最后一个红球的人输.

现在已知有人在游戏开始前取走了$m$个球,并且谁也不知道球的颜色.

在两个玩家都采取最优策略时，先手的胜率是多少？

$1\;\leq\;r,b\;\leq\;100,1\;\leq\;n\;\leq\;10,0\;\leq\;m\;\leq\;r-1$.

首先,先取$i$个球,再取$j$个球和先取$j$个球,再取$i$个球所对应的的剩余情况的概率分布是一样的.

$g[r][b][m]$表示在$r$个红球和$b$个蓝球中取走$m$个球后还剩下红球的概率.

$g[r][b][m]=\frac{r}{r+b}\;\times\;g[r-1][b][m-1]+\frac{b}{r+b}\;\times\;g[r][b-1][m-1]$.

$f[r][b]$表示剩余$r$个红球,$b$个蓝球,其中取走了$m$个未知的球的胜率.

$f[r][b]=max\{\sum_{j=1}^{min(r-1,i)}(\frac{C_r^j\;\times\;C_b^{i-j}}{C_{r+b}^i}\;\times\;(1-f[r-j][b-i+j])\;\times\;\frac{1-g[r-j][b-i+j][m]}{g[r][b][m]})\}$$(i\in[1,n])$.

• 取球III$[bzoj1416][NOI2006]$

有$n$种颜色的球,第$i$种初始有$a_i$个.每一轮等概率随机取出一个球,放回相同颜色的$k$个球.

给定$m$组$x_i,y_i$,你需要求出同时满足第$x_i$轮取出的球颜色为$y_i$的概率.

$n,m\;\leq\;10^5,a_i\;\leq\;10^4$.

每轮增加的球数是固定的,所以第$i$轮时,总球数是固定的,因此取到颜色$j$的概率是颜色$j$的数量/总球数,那么只需求第$i$轮颜色$j$的期望数量.

$f[i][j]=f[i-1][j]+\frac{f[i-1][j]}{sum[i-1]}\;\times\;(k-1)=f[i-1][j]\;\times\;(1+\frac{k-1}{sum[i-1]})$.

容易发现若干轮后所有球的期望数量的比例不变,因此$m$轮之外的取球是没有意义的.