Codeforces 677E Vanya and Balloons（DP + 一些技巧）

题目大概说给一张地图，地图每个格子都有0到9中的某一个数字。现在要在一个格子放炸弹，炸弹爆炸后水柱有两种扩展方式，一种是上、下、左、右，另一种是左上、右下、右上、左下，且四个方向的长度都一样。问放哪个格子怎么爆炸使得水柱覆盖的格子上的数字乘积最大，结果模1e9+7。

这题不会做。。

• 首先，各个格子的值取对数，这个为了比大小，因为需要模数，通过取对数缩小值。另外也把乘法转化成加法。这是个挺经典的技巧。
• 接下来，水柱的话肯定不能延长到0，不然功亏一篑，那么利用DP求出各个格子向8各个方向能延长多长，即dp[dir][x][y]。转移就是格子(x,y)不为0，从dp[dir][x+d[dir]][y+d[dir]]+1这儿转移，否则值为0。具体我是用记忆话搜索实现的。
• 然后知道各个格子8个方向能延长最长长度，上、下、左、右四个方向能够延长的最小值就是第一种水柱的拓展最优的长度，而左上、右下、右上、左下四个方向的最小值就是第二种了。
• 如何快速得出各个方向水柱覆盖的数字和——利用前缀和！这也是个挺经典的技巧。而取对数把乘法转化成加法，这就使得能利用前缀和的差求区间和。那么预处理出各个方向的前缀和就能在O(1)得出区间和了，即水柱覆盖到的格子的和。
• 最后就是通过枚举每个格子，得到各个格子放炸弹最多能得到的数字和，更新答案。

注意最后的答案不要直接求次幂还原。。会有精度问题。。应该要记录下来，在原地图中把各个数字累乘出答案。。

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 int n;
 double a[][];
 int b[][];
 //上、下、右、左、左上、右下、右上、左下
 int dx[]={-,,,,-,,-,};
 int dy[]={,,,-,-,,,-};

 int d[][][];
 int dp(int dir,int x,int y){
     if(a[x][y]<) return d[dir][x][y]=;
     if(d[dir][x][y]!=-) return d[dir][x][y];
     int nx=x+dx[dir],ny=y+dy[dir],res=;
     if(nx>= && nx<=n && ny>= && ny<=n) res+=dp(dir,nx,ny);
     return d[dir][x][y]=res;
 }

 double sum[][][];
 int rec1[][],rec2[][];

 int main(){
     scanf("%d",&n);
     for(int i=; i<=n; ++i){
         for(int j=; j<=n; ++j){
             scanf("%1d",&b[i][j]);
             if(b[i][j]==) a[i][j]=-;
             else a[i][j]=log2(b[i][j]);
         }
     }
     for(int i=; i<=n; ++i){
         for(int j=; j<=n; ++j){
             sum[][i][j]=sum[][i][j-]+a[j][i];
         }
     }
     for(int i=; i<=n; ++i){
         for(int j=; j<=n; ++j){
             sum[][i][j]=sum[][i][j-]+a[i][j];
         }
     }
     for(int i=n; i>=; --i){
         int x=i,y=;
         for(int j=; j<=n-i+; ++j){
             sum[][n-i+][j]=sum[][n-i+][j-]+a[x][y];
             rec1[x][y]=j;
             ++x; ++y;
         }
     }
     for(int i=; i<=n; ++i){
         int x=,y=i;
         for(int j=; j<=n-i+; ++j){
             sum[][n+i-][j]=sum[][n+i-][j-]+a[x][y];
             rec1[x][y]=j;
             ++x; ++y;
         }
     }
     for(int i=; i<=n; ++i){
         int x=,y=i;
         for(int j=; j<=i; ++j){
             sum[][i][j]=sum[][i][j-]+a[x][y];
             rec2[x][y]=j;
             ++x; --y;
         }
     }
     for(int i=; i<=n; ++i){
         int x=i,y=n;
         for(int j=; j<=n-i+; ++j){
             sum[][n+i-][j]=sum[][n+i-][j-]+a[x][y];
             rec2[x][y]=j;
             ++x; --y;
         }
     }
     memset(d,-,sizeof(d));
     for(int k=; k<; ++k){
         for(int i=; i<=n; ++i){
             for(int j=; j<=n; ++j){
                 dp(k,i,j);
             }
         }
     }
     double ans=-;
     int ansx,ansy,ansdir=-,anslen;
     for(int i=; i<=n; ++i){
         for(int j=; j<=n; ++j){
             if(a[i][j]<) continue;

             int len=min(min(d[][i][j],d[][i][j]),min(d[][i][j],d[][i][j]));
             double res=;
             res+=sum[][j][i]-sum[][j][i-len];
             res+=sum[][j][i+len-]-sum[][j][i];
             res+=sum[][i][j-]-sum[][i][j-len];
             res+=sum[][i][j+len-]-sum[][i][j];
             if(ans<res){
                 ans=res;
                 ansx=i; ansy=j; ansdir=; anslen=len;
             }

             len=min(min(d[][i][j],d[][i][j]),min(d[][i][j],d[][i][j]));
             res=;
             res+=sum[][n-i+j][rec1[i][j]]-sum[][n-i+j][rec1[i][j]-len];
             res+=sum[][n-i+j][rec1[i][j]+len-]-sum[][n-i+j][rec1[i][j]];
             res+=sum[][i+j-][rec2[i][j]-]-sum[][i+j-][rec2[i][j]-len];
             res+=sum[][i+j-][rec2[i][j]+len-]-sum[][i+j-][rec2[i][j]];
             if(ans<res){
                 ans=res;
                 ansx=i; ansy=j; ansdir=; anslen=len;
             }
         }
     }
     if(ansdir==-){
         printf("");
         return ;
     }
     long long res=;
     if(ansdir==){
         for(int i=ansx-anslen+; i<=ansx+anslen-; ++i){
             res*=b[i][ansy];
             res%=;
         }
         for(int i=ansy-anslen+; i<=ansy+anslen-; ++i){
             if(i==ansy) continue;
             res*=b[ansx][i];
             res%=;
         }
     }else{
         int x=ansx-anslen+,y=ansy-anslen+;
         for(int i=; i<anslen*; ++i){
             res*=b[x][y];
             res%=;
             ++x; ++y;
         }
         x=ansx-anslen+; y=ansy+anslen-;
         for(int i=; i<anslen*; ++i){
             if(x==ansx && y==ansy){
                 ++x; --y;
                 continue;
             }
             res*=b[x][y];
             res%=;
             ++x; --y;
         }
     }
     printf("%lld",res);
     return ;
 }