SPFA算法学习笔记

一.理论准备

为了学习网络流，先水一道spfa。

SPFA算法是1994年西南交通大学段凡丁提出，只要最短路径存在，SPFA算法必定能求出最小值，SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。为什么队列为空就不改变了呢？就是因为要到下一点必须经过它的前一个邻接点。。SPFA可以处理负权边。很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路。

初始化： dis数组全部赋值为Inf(无穷大，不能是map[s][i]),path数组全部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有知道前驱,然后dis[s]=0;  表示源点不用求最短路径，或者说最短路就是0。将源点入队；另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组，有顶点出队了记得消除那个标记(可能多次入队)。

核心：读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解。

判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)，假设这个节点的入度是k(无向权则就是这个节点的连接的边)如果进入这个队列超过k,说明必然有某个边重复了，即成环；换一种思路：用DFS，假设存在负环a1->a2->…->an->a1。那么当从a1深搜下去时又遇到了a1，那么直接可以判断负环了所有用。当某个节点n次进入队列，则存在负环，此时时间复杂度为O(n*m),n为节点，m为边。

SPFA算法有两个优化算法 SLF 和 LLL： SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾。 LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出对进行松弛操作。 SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。 在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra算法。个人觉得LLL优化每次要求平均值，不太好，为了简单，我们可以之间用c++STL里面的优先队列来进行SLF优化。

二.算法实现

直接去把HDU1874AC了吧。

  1: import java.util.Comparator;

  2: import java.util.PriorityQueue;

  3: import java.util.Queue;

  4: import java.util.Scanner;

  5: /*

  6:  * 原来一直wa，重写了一遍，AC了

  7:  * SLF优化

  8:  */

  9: public class HD1874 {

 10:

 11:   static int n,m;

 12:   static int[][] map  = new int[205][205];

 13:   static int[] dis  = new int[205];

 14:   static boolean[] vis  = new boolean[205];

 15:   /*

 16:    * 路径最大值是10000，不能设置成10005就行，还要考虑和

 17:    * 也不能是整形最大值，否则一加就溢出了

 18:    */

 19:   static final int Inf = 0x3f3f3f3f;

 20:

 21:   public static void main(String[] args) {

 22:     Scanner sc = new Scanner(System.in);

 23:     // 记录前驱点 。若path[i]=j,表示从s到i的最短路径中i的前一个点是j

 24:     //int[] path;

 25:     int u,v,w;

 26:     while(sc.hasNext()) {

 27:       n = sc.nextInt();

 28:       m = sc.nextInt();

 29:       for(int i=0; i<205; i++) {

 30:         for(int j=i; j<205; j++) {

 31:           map[i][j] = Inf;

 32:           map[j][i] = Inf;

 33:         }

 34:       }

 35:       for(int i=0; i<m; i++) {

 36:         u = sc.nextInt();

 37:         v = sc.nextInt();

 38:         w = sc.nextInt();

 39:         //多重边

 40:         if(map[u][v]>w) {

 41:           map[v][u] = w;

 42:           map[u][v] = w;

 43:         }

 44:       }

 45:       int s = sc.nextInt();

 46:       int t = sc.nextInt();

 47:       spfa(s);

 48:       //题目上有st<n，所以不必判断dis[t]是否越界

 49:       //起点终点相同的话答案是0

 50:       if(Inf==dis[t]) {

 51:         System.out.println(-1);

 52:       }else {

 53:         System.out.println(dis[t]);

 54:       }

 55:     }

 56:   }

 57:

 58:   private static void spfa(int s) {

 59:

 60:     for(int i=0; i<205; i++) {

 61:       vis[i] = false;

 62:       //初始化为map[s][i]第一组数据就错了

 63:       dis[i] = Inf;

 64:     }

 65:     dis[s] = 0;

 66:     vis[s] = true;

 67:     Comparator<Integer> cmp = new Comparator<Integer>() {

 68:

 69:           public int compare(Integer o1, Integer o2) {

 70:             int i = (int)o1;

 71:             int j = (int)02;

 72:             if(dis[i]>dis[j]) {

 73:               return 1;

 74:             }else if(dis[i]==dis[j]){

 75:               return 0;

 76:             }else {

 77:               return -1;

 78:             }

 79:           }

 80:     };

 81:     //面向接口编程；205代表优先队列(是类)的容量

 82:     Queue<Integer> q = new PriorityQueue<Integer>(205, cmp);

 83:     q.clear();

 84:     q.offer(s);

 85:     while(!q.isEmpty()) {

 86:       int head = q.poll();

 87:       //该注意的是有些点可能重复入队，所以出队的点也要重新置未标记

 88:       vis[head] = false;

 89:       for(int i=0; i<n; i++) {

 90:         //dis[head]不可能是INF，map[head][i]可能是INF

 91:         int temp = dis[head] + map[head][i];

 92:         if(temp<dis[i]) {

 93:           //path[i] = head

 94:           dis[i] = temp;

 95:           if(!vis[i]) {

 96:             //用一个数组在此记录入队次数，大于n就存在负环；如何事先判断

 97:             q.offer(i);

 98:             vis[i] = true;

 99:           }

100:         }

101:       }

102:     }

103:   }

104:

105: }

106: