loj#6436. 「PKUSC2018」神仙的游戏（NTT）

题面

传送门

题解

一旦字符串踏上了通配符的不归路，它就永远脱离了温暖的字符串大家庭的怀抱

用人话说就是和通配符扯上关系的字符串就不是个正常的字符串了比如说这个

让我们仔细想想，如果一个长度为\(len\)的前缀是border，那么对于\(\forall i\in[1,len]\)，都有\(s[i]=s[i+n-len]\)，也就是说在模\(n-len\)意义下所有位置上的\(01\)要相等

如果有一个\(0\)位置\(i\)，一个\(1\)位置\(j\)，记\(x=|i-j|\)，那么所有\(y|x\)的\(y\)都是不可行的（就是说长度为\(n-y\)的border是不存在的）（因为\(ij\)模\(x\)意义下同余，则模\(y\)也必定同余）

于是暴力枚举所有的\(01\)就行了

还是那句话，跟通配符扯上关系的字符串就不是个正常的字符串，一般都是和卷积有关的

我们设两个生成函数，\(A(x)=\sum [s[i]=0]x^i\)，\(B(x)=\sum [s[n-i]=1]x^i\)，那么\(A\times B\)的第\(n+(j-i)\)项就代表\(|j-i|\)

算出所有的\(x\)，要算\(y\)的话只要\(O(n\log n)\)就可以了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=(1<<20)+5,P=998244353,Gi=332748118;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
char s[N];int A[N],B[N],r[N],O[N];bitset<N>vis;
int lim,l,n;ll ans;
void NTT(int *A,int ty){
	fp(i,0,lim-1)if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
	for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1){
		int I=(mid<<1),Wn=ksm(ty==1?3:Gi,(P-1)/I);O[0]=1;
		fp(i,1,mid-1)O[i]=mul(O[i-1],Wn);
		for(R int j=0;j<lim;j+=I)fp(k,0,mid-1){
			int x=A[j+k],y=mul(O[k],A[j+k+mid]);
			A[j+k]=add(x,y),A[j+k+mid]=dec(x,y);
		}
	}
	if(ty==-1)for(R int i=0,inv=ksm(lim,P-2);i<lim;++i)A[i]=mul(A[i],inv);
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	scanf("%s",s),n=strlen(s);
	fp(i,0,n-1)A[i]=(s[i]=='0'),B[i]=(s[n-i-1]=='1');
	lim=1;while(lim<=(n<<1))lim<<=1,++l;
	fp(i,0,lim-1)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	NTT(A,1),NTT(B,1);
	fp(i,0,lim-1)A[i]=mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,-1);
	fp(i,0,(n<<1)-1)if(A[i])vis[abs(n-1-i)]=1;
	ans=1ll*n*n;
	fp(i,1,n){
		bool fl=true;
		for(R int j=i;j<=n;j+=i)if(vis[j]){fl=false;break;}
		fl?ans^=1ll*(n-i)*(n-i):0;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}