【FCS NOI2018】福建省冬摸鱼笔记 day3

第三天。

计算几何，讲师：叶芃(péng)。

dalao们日常不记笔记。@ghostfly233说他都知道了，就盼着自适应辛普森积分。

我计算几何基础不好……然而还是没怎么讲实现，感觉没听什么东西进去。

不过还是记了一些公式。

同时@ghostfly233在后面打农药。

然后讲到了有关圆的东西。讲完了，下课了。辛普森有兴趣的同学回去自己看看吧。

辛普森：？？？

@ghostfly233非常难受。

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中午划水。

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下午有一题和早上的有关。

T1半平面交+面积，简单题，我半平面交写错了，只有80。

T2神秘图论结论+神秘数学/神秘DP，那个结论第一天就接触过了，然而我不知道放那儿有啥用，于是不会做，其实再证一个结论就简单状压DP了。

T3毒瘤分治啥的，没想法，搞了个最坏\(O(n^2)\)的RMQ，结果70分？？？@qrc和我差不多，只有30分，因为他预处理\(O(n^2)\)，233333。数据出水了。

150分比较舒服。

【T1】

题面：求一个凸包内部，随机取点P，使得P与给定一边组成的三角形，比P与其他边组成的三角形面积都要小，取到这样的点P的概率。

题解：一看就是半平面交再算面积，算出给定边和其他边的那条直线（使得P在直线一侧，三角形更小），交一交就好了。

难点在于如何求出直线，其实推推式子就没问题，第二个是半平面交，我写挂了，幸好不是什么严重错误，于是80分。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define db double
using namespace std;
const db eps=1e-10;
struct vec{db x,y;vec(db x=0,db y=0):x(x),y(y){}};
inline vec operator+(vec x,vec y){return vec(x.x+y.x,x.y+y.y);}
inline vec operator-(vec x,vec y){return vec(x.x-y.x,x.y-y.y);}
inline vec operator*(db  x,vec y){return vec(x*y.x,x*y.y);}
inline vec operator*(vec x,db  y){return vec(y*x.x,y*x.y);}
inline db operator *(vec x,vec y){return x.x*y.y-x.y*y.x;}
inline db mod(vec x){return sqrt(x.x*x.x+x.y*x.y);}
inline bool zero(db x){if(x<=eps&x>=-eps)return 1;return 0;}
struct line{vec p,v;line(vec p=vec(0,0),vec v=vec(0,0)):p(p),v(v){}};
inline bool cmp(line x,line y){return atan2(x.v.y,-x.v.x)<atan2(y.v.y,-y.v.x);}
void print(vec x){printf("(%lf, %lf)",x.x,x.y);}
void print(line x){print(x.p);printf(" -> ");print(x.v);puts("");}
inline vec jiao(line x,line y){
	return x.p+((((y.p-x.p)*y.v)/(x.v*y.v))*x.v);
}
inline line clac(line x,line y){
	if(zero(x.v*y.v)) return line(y.p+((x.p-y.p)*(mod(x.v)/(mod(x.v)+mod(y.v)))),x.v-y.v);
	return line(jiao(x,y),x.v-y.v);
}
inline bool left(line x,vec y){
	return (x.v*(y-x.p))>-eps;
}
int n,cnt; db ans1,ans2;
vec dots[100001];
line edge[100001];
line edg2[200001];
line que[200001];int l=1,r=0;
int main(){
	freopen("convex.in","r",stdin);
	freopen("convex.out","w",stdout);
/*	while(1){
		line p1,p2;
		line v;
		scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&p1.p.x,&p1.p.y,&p1.v.x,&p1.v.y,&p2.p.x,&p2.p.y,&p2.v.x,&p2.v.y);
		print(p1); print(p2);
		v=clac(p1,p2);
		print(v);
	}*/
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf%lf",&dots[i].x,&dots[i].y);
//======
	ans1+=dots[n]*dots[1];
	for(int i=1;i<n;++i) ans1+=dots[i]*dots[i+1];
	ans1/=2; ans1=abs(ans1);
//======
	for(int i=1;i<n;++i) edge[i]=line(dots[i],dots[i+1]-dots[i]);
	edge[n]=line(dots[n],dots[1]-dots[n]);
	edg2[++cnt]=line(dots[1],dots[n]-dots[1]);
	for(int i=2;i<=n;++i) edg2[++cnt]=line(dots[i],dots[i-1]-dots[i]);
	for(int i=2;i<=n;++i) edg2[++cnt]=clac(edge[1],edge[i]);
	sort(edg2+1,edg2+cnt+1,cmp);
//======
//	puts("======");
//	for(int i=1;i<=cnt;++i) print(edg2[i]);
//	puts("======");
//======
	que[++r]=edg2[1]; que[++r]=edg2[2];
	for(int i=3;i<=cnt;++i){
//		puts("######");
//		for(int j=l;j<=r;++j) print(que[j]);
//		puts("######");
		while(l<=r-1&&left(edg2[i],jiao(que[r],que[r-1]))) --r;
		while(l<=r-1&&left(edg2[i],jiao(que[l],que[l+1]))) ++l;
		if(zero(que[r].v*edg2[i].v)){
			if(l<=r-1&&left(edg2[i],jiao(que[r],que[r-1]))) --r;
			else continue;
		}
		que[++r]=edg2[i];
	}
	while(l<=r-1&&left(edg2[l],jiao(que[r],que[r-1]))) --r;
//======
//	puts("======");
//	for(int i=l;i<=r;++i) print(que[i]);
//	puts("======");
//======
	if(l==r-1) ans2=0;
	else{
		ans2+=jiao(que[l],que[l+1])*jiao(que[l],que[r]);
		ans2+=jiao(que[r],que[l])*jiao(que[r],que[r-1]);
		for(int i=l+1;i<=r-1;++i) ans2+=jiao(que[i],que[i+1])*jiao(que[i],que[i-1]);
		ans2/=2; ans2=abs(ans2);
	}
//======
	printf("%.4f",ans2/ans1);
	return 0;
}

【T2】

题意：给定一个二分图G={V=X+Y,E}，每个点有价值，求有多少个V的子集S的价值大于等于给定的t，并且S可以被原图G中的一个匹配覆盖。\(|X|,|Y|\leq 20\)

题解：Hall定理：对于一个二分图G={X+Y,E}，那么存在一个能覆盖X的匹配当且仅当对于任意一个X的子集，从它引边到Y后，Y被覆盖的点的数量大于等于这个子集的点的数量。

那么，还要证明一个结论：对于二分图G={X+Y,E}，如果X的子集P能被一个G的匹配MP覆盖，Y的子集Q能被一个G的匹配MQ覆盖，那么G必有一个匹配能覆盖P+Q。

为什么呢？如果P中的一个点通过MP到达Y的点不在Q中，那这条边就可以选取，因为P没有另一个点通过MP能到达同一个点；反之，如果在Q中，那这个点再通过MQ到达X，重复这个过程，最后会形成一条链或一个环，在链中的话我们隔着取边，不论长度为奇数或偶数都可以取到，如果是一个环，那么必须是一个偶环，因为是二分图，所以我们仍然隔着取边就好了。

那么我们要做的是：①处理X，Y中的每个子集是否有匹配能覆盖它，②把可以的按照价值排序，③双指针扫一遍。

①可以用状压DP解决。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,t,s,num[1048576],A[1048576],B[1048576],vA[1048576],vB[1048576],sA[1048576],sB[1048576],cA,cB;
bool fA[1048576],fB[1048576];
long long ans;
int main(){
	freopen("match.in","r",stdin);
	freopen("match.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m); s=n>m?n:m;
	for(int i=1;i<1<<s;++i) num[i]=num[i-(i&-i)]+1;
	char ch;
	for(int i=0;i<n;++i) for(int j=0;j<m;++j)
		ch=getchar(), ch=='1'?A[1<<i]|=1<<j,B[1<<j]|=1<<i:ch!='0'?--j:0;
	for(int i=0;i<1<<n;++i) A[i]=A[i&-i]|A[i-(i&-i)];
	for(int i=0;i<1<<m;++i) B[i]=B[i&-i]|B[i-(i&-i)];
	for(int i=0;i<n;++i) scanf("%d",vA+(1<<i));
	for(int i=0;i<m;++i) scanf("%d",vB+(1<<i));
	for(int i=0;i<1<<n;++i) vA[i]=vA[i&-i]+vA[i-(i&-i)];
	for(int i=0;i<1<<m;++i) vB[i]=vB[i&-i]+vB[i-(i&-i)];
	for(int i=0;i<1<<n;++i){
		if(num[A[i]]<num[i]) continue;
		fA[i]=1;
		for(int j=0;j<n;++j) if(i>>j&1)
			fA[i]&=fA[i^1<<j];
		fA[i]?sA[cA++]=vA[i]:0;
	} sort(sA,sA+cA);
	for(int i=0;i<1<<m;++i){
		if(num[B[i]]<num[i]) continue;
		fB[i]=1;
		for(int j=0;j<n;++j) if(i>>j&1)
			fB[i]&=fB[i^1<<j];
		fB[i]?sB[cB++]=vB[i]:0;
	} sort(sB,sB+cB);
	scanf("%d",&t);
	for(int i=0,j=cB;i<cA;++i){
		while(j>0&&sA[i]+sB[j-1]>=t) --j;
		ans+=cB-j;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}