ACM数论之旅1---素数（万事开头难（>_<））

前言：好多学ACM的人都在问我数论的知识（其实我本人分不清数学和数论有什么区别，反正以后有关数学的知识我都扔进数论分类里面好了）

于是我就准备写一个长篇集，把我知道的数论知识和ACM模板都发上来（而且一旦模板有更新，我就直接在博客上改了，所以记得常来看看（。・ω・））

废话说完了，直接进入正题ヾ(=^▽^=)ノ

素数，又叫质数，定义是除了1和它本身以外不再有其他的因数

我们通过这个定义，可以写如下程序判断一个数是不是质数

 bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false
     if(x <= ) return false;
     for(int i = ; i < x; i ++){
         if(x % i == ) return false;
     }
     return true;
 }

这个程序的时间复杂度是O(n)，有没有更快的方法，当然

看这个

 bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false
     if(x <= ) return false;
     for(int i = ; i <= sqrt(x + 0.5); i ++){//0.5是防止根号的精度误差
         if(x % i == ) return false;
     }
     return true;
 }
 //另一种方法，不需要根号
 bool prime(int x){//判断x是不是质数，是返回true，不是返回false
     if(x <= ) return false;
     for(int i = ; i * i <= x; i ++){//用乘法避免根号的精度误差
         if(x % i == ) return false;
     }
     return true;
 }
 //根据题目不同，如果i*i会爆int，记得开longlong 

这个复杂度是O(√n),速度快多了（＃°Д°）

根据题目不同，有可能你需要先预处理出1~N这N个数是否是素数

如果用刚刚的方法，复杂度就是O(n√n)

 #include<cstdio>
 const int N =  + ;
 bool prime[N];
 bool is_prime(int x){
     if(x <= ) return false;
     for(int i = ; i * i <= x; i ++){
         if(x % i == ) return false;
     }
     return true;
 }
 void init(){
     for(int i = ; i < N; i ++){
         prime[i] = is_prime(i);
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

如果n大一点，就太慢了(｡･ω･)ﾉﾞ

介绍一种新方法，埃筛

埃筛--------------埃拉托斯特尼筛法，或者叫埃氏筛法

原理：如果找到一个质数，那么这个质数的倍数都不是质数

比如2是质数，那么4,6,8,10,12...都不是质数

然后看3是质数，那么6,9,12,15,18,21...都不是质数

然后看4，4已经被2标记为合数了，所以跳过

然后看5......这样一直筛下去

 #include<cstdio>
 const int N =  + ;
 bool prime[N];
 void init(){
     for(int i = ; i < N; i ++) prime[i] = true;//先全部初始化为质数
     for(int i = ; i < N; i ++){
         if(prime[i]){//如果i是质数
             for(int j = *i; j < N; j += i){//从i的两倍开始的所有倍数
                 prime[j] = false;
             }
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

因为一些数字，比如6既被2的for循环经过又被3的for循环经过，所以复杂度不是O(n)

这个复杂度经过专业人士检验，复杂度O(nloglogn)（学过高数的小朋友可以自己证明≖‿≖✧当然也可以去百度）

知道原理后，我们再稍微优化一下就更快了

 #include<cstdio>
 const int N =  + ;
 bool prime[N];
 void init(){
     for(int i = ; i < N; i ++) prime[i] = true;
     for(int i = ; i*i < N; i ++){//判断改成i*i<N
         if(prime[i]){
             for(int j = i*i; j < N; j += i){//从i*i开始就可以了
                 prime[j] = false;
             }
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

好戏都是要留到最后的≖‿≖✧确实还有O(n)的做法

这个算法名字叫线筛

 #include<cstdio>
 const int N =  + ;
 bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数
 int p[N], tot;//p[N]用来存质数
 void init(){
     for(int i = ; i < N; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数
     for(int i = ; i < N; i++){
         if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来
         for(int j = ; j < tot && i * p[j] < N; j++){
             prime[i * p[j]] = false;
             if(i % p[j] == ) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

这个方法可以保证每个合数都被它最小的质因数筛去

所以一个数只会经过一次

时间复杂度为O(n)

其实loglogn非常小，把埃筛看成线性也无妨，毕竟它比线筛好写

基于埃筛的原理，我们可以用它干很多事

比如预处理每个数的所有质因数

 #include<cstdio>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int N =  + ;
 vector<int > prime_factor[N];
 void init(){
     for(int i = ; i < N; i ++){
         if(prime_factor[i].size() == ){//如果i是质数
             for(int j = i; j < N; j += i){
                 prime_factor[j].push_back(i);
             }
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

比如预处理每个数的所有因数

 #include<cstdio>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int N =  + ;
 vector<int > factor[N];
 void init(){
     for(int i = ; i < N; i ++){
         for(int j = i; j < N; j += i){
             factor[j].push_back(i);
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

比如预处理每个数的质因数分解

 #include<cstdio>
 #include<vector>
 using namespace std;
 const int N =  + ;
 vector<int > prime_factor[N];
 void init(){
     int temp;
     for(int i = ; i < N; i ++){
         if(prime_factor[i].size() == ){
             for(int j = i; j < N; j += i){
                 temp = j;
                 while(temp % i == ){
                     prime_factor[j].push_back(i);
                     temp /= i;
                 }
             }
         }
     }
 }
 int main(){
     init();
 }

世界之大无奇不有(。-`ω´-)数论是个可怕的东西