【LOJ】#2541. 「PKUWC2018」猎人杀

题解

一道神仙的题><

我们毙掉一个人后总的w的和会减少，怎么看怎么像指数算法

然而，我们可以容斥……

设\(\sum_{i = 1}^{n} w_{i} = Sum\)

我们把问题转化一下，就是一个猎人死掉之后，并不认为他死掉了，他还活着，只是毙掉他的时候，再毙一次

很容易发现这是个正无穷的递归……但是……这是对的！

例如下一个毙掉\(i\)的概率，死掉的人的w和是\(B\),则

\(P = \frac{B}{A}P + \frac{w_{i}}{A}\)

我们当成一元一次方程解，很容易发现

\(P = \frac{w_{i}}{A - B}\)

很容易发现这个式子是对的

然后我们选出来一堆人，设这些人w的和为\(S\)

我们要求的是这些人在1号人以后毙掉的概率，剩下人随意

\(P = \sum_{i = 0}^{+\infty}(1 - \frac{S + w_{1}}{A})^{i} \frac{w_{1}}{A}\)

就是我们从除了第一个人和S这些人里找人毙掉，反正我们可以反复毙掉一个人，最后再乘上第一个人被毙掉的概率

这个式子可以写成这样

\(P = (1 - \frac{S + w_{1}}{A})P + \frac{w_{1}}{A}\)

解出来

\(P = \frac{w_{1}}{S + w_{1}}\)

……

好吧

然后我们显然容斥系数是(-1)的人数次幂，对于加入一个人，对系数的贡献是-1

我们可以用S进行分类，可以背包求出每个S的系数

然后发现这可以用生成函数进行优化\(\prod_{i = 2}^{n} (1 - x^{w_{i}})\)

很明显的分治NTT

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cmath>
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define eps 1e-7
#define MAXN 100005
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
typedef vector<int> poly;

template<class T>
void read(T &res) {
	res = 0;char c = getchar();T f = 1;
	while(c < '0' || c > '9') {
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9') {
		res = res * 10 + c - '0';
		c = getchar();
	}
	res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
	if(x < 0) {putchar('-');x = -x;}
	if(x >= 10) {
		out(x / 10);
	}
	putchar('0' + x % 10);
}

const int MOD = 998244353,MAXL = 1 << 18;
int W[MAXL + 5],N,val[MAXN],sum;
poly ans;
int mul(int a,int b) {
	return 1LL * a * b % MOD;
}
int inc(int a,int b) {
	return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
}
int fpow(int x,int c) {
	int res = 1,t = x;
	while(c) {
		if(c & 1) res = mul(res,t);
		t = mul(t,t);
		c >>= 1;
	}
	return res;
}
void NTT(poly &f,int L,int on) {
	f.resize(L);
	for(int i = 1 ,j = L / 2 ; i < L - 1 ; ++i) {
		if(i < j) swap(f[i],f[j]);
		int k = L / 2;
		while(j >= k) {
			j -= k;
			k >>= 1;
		}
		j += k;
	}
	for(int h = 2 ; h <= L ; h <<= 1) {
		int wn = W[(MAXL + on * MAXL / h) % MAXL];
		for(int k = 0 ; k < L ; k += h) {
			int w = 1;
			for(int j = k ; j < k + h / 2 ; ++j) {
				int u = f[j],t = mul(f[j + h / 2],w);
				f[j] = inc(u,t);
				f[j + h / 2] = inc(u,MOD - t);
				w = mul(w,wn);
			}
		}
	}
	if(on == -1) {
		int InvL = fpow(L,MOD - 2);
		for(int i = 0 ; i < L ; ++i) f[i] = mul(f[i],InvL);
	}
}
poly operator * (poly a,poly b) {
	int t = a.size() + b.size();
	int l = 1;
	while(l <= t) l <<= 1;
	NTT(a,l,1);NTT(b,l,1);
	poly c;c.clear();c.resize(l);
	for(int i = 0 ; i < l ; ++i) {
		c[i] = mul(a[i],b[i]);
	}
	NTT(c,l,-1);
	for(int i = l - 1 ; i >= 0 ; --i) {
		if(c[i] == 0) c.pop_back();
		else break;
	}
	return c;
}
void Init() {
	srand(20020421);
	W[0] = 1;W[1] = fpow(3,(MOD - 1) / MAXL);
	for(int i = 2 ; i < MAXL ; ++i) W[i] = mul(W[i - 1],W[1]);
	read(N);
	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) {read(val[i]);sum += val[i];}
	random_shuffle(val + 2,val + N + 1);
}
poly Solve(int l,int r) {
	if(l == r) {
		poly g;
		g.clear();
		g.resize(val[l] + 1);
		g[val[l]] = MOD - 1;g[0] = 1;
		return g;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	return Solve(l,mid) * Solve(mid + 1,r);
}
int main() {
#ifdef ivorysi
	freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
	Init();
	if(N == 1) {
		puts("1");
		return 0;
	}
	ans = Solve(2,N);
	int res = 0;
	ans.resize(sum);
	for(int i = 0 ; i <= sum ; ++i) {
		res = inc(res,mul(ans[i],mul(val[1],fpow(val[1] + i,MOD - 2))));
	}
	out(res);enter;
	return 0;
}