数学整合 新（LUOGU）

1.卡特兰数（P2532）

递推式：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

前十项（从零开始）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,

int n;
unsigned long long a[<<];

int main(){
    n=read();
    a[]=; a[]=;
    for(rint i=;i<=n+n;i++) a[i]=1ull*a[i-]*i;
    unsigned long long ans=a[n+n]/a[n]/a[n]/(n+);
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}

2.第二类斯特林数(P3904)

s(n,0)=0^n;　　s(n,1)=s(n,n)=1; 　　s(n,m)=s(n-1,m-1)+m*s(n-1,m);

//不加高精
int n,m;
int f[][];

int main(){
    n=read();m=read();
    memset(f,,sizeof(f));
    for(rint i=;i<=n;i++) f[i][]=;
    for(rint j=;j<=m;j++)
        for(rint i=;i<=n;i++)
            f[i][j]=f[i-][j-]+j*f[i-][j];
    cout<<f[n][m];
    return ;
}

//使用高精
int n,m;
long long f[][][]={};

inline void update(int u,int v){
    for(rint i=;i<=max(f[u-][v-][],f[u-][v][]);i++)
        f[u][v][i]+=f[u-][v-][i]+f[u-][v][i]*v;

    f[u][v][]=max(f[u-][v][],f[u-][v-][]);

    for(rint i=;i<=f[u][v][];i++)
        f[u][v][i+]+=f[u][v][i]/,
        f[u][v][i]=f[u][v][i]%;

    while(f[u][v][f[u][v][]+]){
        f[u][v][]++;
        f[u][v][f[u][v][]+]+=f[u][v][f[u][v][]]/;
        f[u][v][f[u][v][]]%=;
    }
}

int main(){
    n=read();m=read();
    memset(f,,sizeof(f));
    f[][][]=;f[][][]=;

    for(rint i=;i<=n;i++)
        for(rint j=;j<=i;j++)
            update(i,j);

    if(f[n][m][]==){
        printf("0\n");
        return ;
    }
    for(rint i=f[n][m][];i>=;i--)
        cout<<f[n][m][i];
    cout<<endl;
    return ;
}

3.斐波那契数列(P1962)

Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2](Fib[0]=1,Fib[1]=1);

//矩阵乘法
struct matrix{    long long m[][];}a,b,ans;
long long n;

const int md=1e9+;

inline matrix mul(matrix a,matrix b){
    matrix ans;
    for(rint i=;i<=;i++)
        for(rint j=;j<=;j++){
            ans.m[i][j]=;
            for(rint k=;k<=;k++)
                ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j])%md;
        }
    return ans;
}

inline matrix matpow(matrix a,long long b){
    matrix ans=a;b--;
    while(b){
        if(b&) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        b>>=;
    }
    return ans;
}

int main(){
    cin>>n;
    if(n<=){    printf("1\n");return ;}
    a.m[][]=;a.m[][]=;a.m[][]=;a.m[][]=;
    b.m[][]=;b.m[][]=;b.m[][]=;b.m[][]=;
    b=matpow(b,n-);
    ans=mul(a,b);
    cout<<ans.m[][]<<endl;//输出的是下面的f(n)  上面的是f(n+1)
    return ;
}