【BZOJ】3737: [Pa2013]Euler

题意：

求满足\(phi(a)=n\)的\(a\)的个数。（\(n \le 10^{10}\)）

分析

这种题一开始就感觉是搜索= =

题解

首先容易得到

\[\phi(n) = \prod_{i} p_i^{a_i-1} (p_i - 1)
\]

然后我们\(O(n^{0.5})\)预处理以下前\(n^{0.5}\)的素因子，然后再用\(O(n^{0.5}log(n))\)筛出大质数，然后从小到大一层一层搜下去即可，注意特判一下\(n=1\)的情况。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e10, Lim=1e5+5, Ml=1e9;
int tot, ans, p[Lim+5], np[Lim+5], pcnt;
ll b[5000005];
struct dat {
	ll p;
	int l;
}a[Lim<<1];
void init() {
	for(int i=2; i<=Lim; ++i) {
		if(!np[i]) p[pcnt++]=i;
		for(int j=0; j<pcnt; ++j) {
			int t=i*p[j];
			if(t>Lim) break;
			np[t]=1;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
}
ll rand(ll l, ll r) {
	static ll MD=1e9+7, g=78125, now=1998;
	now*=g; if(now>=MD) now%=MD;
	return l+now%(r-l+1);
}
ll mul(ll a, ll b, ll m) { if(a<=Ml && b<=Ml) return a*b%m; if(b>a) swap(b, a); ll x=0; for(; b; b>>=1, a=(a+a)%m) if(b&1) x=(x+a)%m; return x; }
ll ipow(ll a, ll b, ll m) { ll x=1; for(; b; b>>=1, a=mul(a, a, m)) if(b&1) x=mul(x, a, m); return x; }
bool check(ll x) {
	if(x<=Lim) return !np[x];
	if((x%2)==0 || (x%3)==0 || (x%5)==0 || (x%7)==0 || (x%11)==0 || (x%13)==0) return 0;
	int cnt=0; ll d=x-1; while(!(d&1)) d>>=1, ++cnt;
	for(int T=0; T<=50; ++T) {
		ll t=ipow(rand(2, x-1), d, x), pre=t;
		for(int i=1; i<=cnt; ++i, pre=t) {
			t=mul(t, t, x);
			if(t==1 && pre!=1 && pre!=x-1) return 0;
		}
		if(t!=1) return 0;
	}
	return 1;
}
void pre(ll n) {
	tot=0;
	int sq=sqrt(n+0.5)+1;
	for(int i=0; i<pcnt; ++i) {
		if(p[i]>sq) break;
		if(n%(p[i]-1)==0) {
			ll t=n/(p[i]-1);
			a[tot].p=p[i];
			while(t%p[i]==0)
				++a[tot].l, t/=p[i];
			++tot;
		}
	}
	for(int i=sq; i>=1; --i) if(n%i==0) {
		ll pr=n/i+1; if(pr<=sq) continue;
		if(check(pr))
			a[tot].p=pr, a[tot++].l=0;
	}
	// printf("tot:%d\n", tot);
	// for(int i=0; i<tot; ++i)
	//	printf("%lld ", a[i].p); puts("");
}
void dfs(int x, ll n, ll now) {
	if(n==1) {
		if(x==0) now*=2;
		b[ans++]=now;
		return;
	}
	if(x>=tot) return;
	dfs(x+1, n, now);
	ll pr=a[x].p;
	int l=a[x].l;
	if(n%(pr-1)) return;
	now*=pr;
	n/=pr-1;
	dfs(x+1, n, now);
	for(int j=0; j<l; ++j) {
		if(n%pr) break;
		now*=pr;
		n/=pr;
		dfs(x+1, n, now);
	}
}
void work(ll n) {
	ans=0;
	dfs(0, n, 1);
	printf("%d\n", ans);
	sort(b, b+ans);
	for(int i=0; i<ans; ++i)
		printf("%lld%c", b[i], " \n"[i==ans-1]);
}
int main() {
	int T; scanf("%d", &T);
	init();
	while(T--) {
		ll n;
		scanf("%lld", &n);
		if(n&1) {
			if(n==1) puts("2\n1 2");
			else puts("0");
			continue;
		}
		pre(n);
		work(n);
	}
	return 0;
}