Codeforces 1045. A. Last chance(网络流 + 线段树优化建边)

题意

给你 \(n\) 个武器，\(m\) 个敌人，问你最多消灭多少个敌人，并输出方案。

总共有三种武器。

• SQL 火箭 - 能消灭给你集合中的一个敌人 \(\sum |S| \le 100000\) ；
• 认知光束 - 可以消灭 \([l, r]\) 区间中的一个敌人；
• OMG 火箭筒 - 消灭给你集合中的 \(0\) 个或者 \(2\) 个敌人，集合大小为 \(3\) ，且火箭筒消灭的集合互不重合。

\(n, m \le 5000\) 。

题解

现场的时候直觉告诉我是网络流，但是这个数据范围，以及 CodeForces 从不出网络流的传言，不敢刚。。

其实这题还是个网络流，因为可以看出来还是个是个二分图求最大匹配的模型（对于前两种武器来说）。

首先对于第一种武器，可以直接在二分图上暴力连边。

第二种武器，我们可以考虑线段树优化建边就行了。（就是树上的边从父亲向儿子连 \(inf\) 就行了）

第三种武器，看起来只有 \(0,2\) 两种取值很奇怪，其实我们可以把它当成有 \(0,1,2\) 三种取值。

也就是说这个点可以匹配 \(0\sim 2\) 个点。

为什么取 \(1\) 时候是对的呢？因为我们总可以在集合中找另外一个点，把原来消灭它的武器换成这个武器就行了。

然后就可以建完了，至于时间复杂度 ，题解给了一个 \(O(nm \log m)\) 的复杂度，其实我觉得是 \(O(flow)\) 。。

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然后输出方案有些麻烦，首先考虑前两种武器，第一种武器可以直接先匹配，第二种武器我们在线段树上自底向上依次分配可行的节点就行了，这个用一个 std :: vector 作为递归函数返回值返回值比较好写。

然后考虑第三种武器，只需要对于 \(flow = 1\) 的情况再找一个匹配了的点，替换消灭的武器就行了。

总结

然后对于一些无法取值的流量，我们可以考虑先取，然后通过构造使得这个流量满足条件。

网络流输出方案的时候考虑退流会退到最开始的哪个地方就行了。

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << (x) << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define All(x) (x).begin(), (x).end()

using namespace std;

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x(0), sgn(1); char ch(getchar());
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') sgn = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x * 10) + (ch ^ 48);
    return x * sgn;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
    freopen ("a.in", "r", stdin);
    freopen ("a.out", "w", stdout);
#endif
}

int n, m;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

template<int Maxn, int Maxm>
struct Dinic {

    int Head[Maxn], Next[Maxm], cap[Maxm], to[Maxm], e;

    Dinic() { e = 1; }

    inline void add_edge(int u, int v, int flow) {
        to[++ e] = v; Next[e] = Head[u]; Head[u] = e; cap[e] = flow;
    }

    inline void Add(int u, int v, int flow) {
        add_edge(u, v, flow); add_edge(v, u, 0);
    }

    int S, T, dis[Maxn];
    bool Bfs() {
        queue<int> Q; Q.push(S); Set(dis, 0); dis[S] = 1;
        while (!Q.empty()) {
            int u = Q.front(); Q.pop();
            for (int i = Head[u], v = to[i]; i; v = to[i = Next[i]])
                if (cap[i] && !dis[v]) dis[v] = dis[u] + 1, Q.push(v);
        }
        return dis[T];
    }

    int cur[Maxn];
    int Dfs(int u, int flow) {
        if (u == T || !flow) return flow;
        int res = 0, f;
        for (int &i = cur[u]; i; i = Next[i]) {
            int v = to[i];
            if (dis[v] == dis[u] + 1 && (f = Dfs(v, min(flow, cap[i])))) {
                cap[i] -= f, cap[i ^ 1] += f, res += f;
                if (!(flow -= f)) break;
            }
		}
		if (!res) dis[u] = 0;
		return res;
	}

	int Run() {
		int sum_flow = 0;
		while (Bfs())
			Cpy(cur, Head), sum_flow += Dfs(S, inf);
		return sum_flow;
	}

};

const int N = 5050;

Dinic<(int)1e5, (int)4e5> D;

int tot;

#define lson o << 1, l, mid
#define rson o << 1 | 1, mid + 1, r

#define Travel(i, u, v) for(int i = D.Head[u], v = D.to[i]; i; v = D.to[i = D.Next[i]])

int ans[N], Bef;

template<int Maxn>
struct Segment_Tree {

	int id[Maxn];

	void Build(int o, int l, int r) {
		if (l == r) { id[o] = l; return ; }
		id[o] = ++ tot;
		int mid = (l + r) >> 1;
		Build(lson); Build(rson);
		D.Add(id[o], id[o << 1], id[o << 1] <= m ? 1 : inf);
		D.Add(id[o], id[o << 1 | 1], id[o << 1 | 1] <= m ? 1 : inf);
	}

	inline void Connect(int o, int l, int r, int ql, int qr, int Id) {
		if (ql <= l && r <= qr) { D.Add(Id, id[o], 1); return ; }
		int mid = (l + r) >> 1;
		if (ql <= mid) Connect(lson, ql, qr, Id);
		if (qr > mid) Connect(rson, ql, qr, Id);
	}

	vector<int> find(int o, int l, int r) {
		if (l == r) return vector<int>();

		vector<int> tmp;
		int mid = (l + r) >> 1;
		vector<int> ls = find(lson), rs = find(rson);
		set_union(All(ls), All(rs), inserter(tmp, tmp.end()));

		Travel(i, id[o], v)
			if (v <= m && !D.cap[i]) tmp.push_back(v);

		Travel(i, id[o], v) if (D.cap[i] && v > Bef) {
			int cur = tmp[tmp.size() - 1]; tmp.pop_back();
			ans[cur] = v - Bef;
		}
		return tmp;
	}

};

Segment_Tree<N << 2> T;

vector<int> V1, V2, V3;

int Ref[N], from[N], go[N];

void Get_Ans() {
	for (int u : V1) {
		Travel(i, Ref[u], v)
			if (v <= m && D.cap[i ^ 1]) ans[v] = u;
	}
	T.find(1, 1, m);

	for (int u : V3) {
		int flow = D.cap[from[u]];
		Travel(i, Ref[u], v)
			if (v != D.S && !D.cap[i]) ans[v] = u;
		if (flow == 1)
			Travel(i, Ref[u], v)
				if (v != D.S && D.cap[i]) { ans[v] = u; break; }
	}
}

int main () {

	File();

	n = read(), m = read();

	tot = m; T.Build(1, 1, m); Bef = tot;
	D.S = tot + n + 1; D.T = tot + n + 2;

	For (i, 1, m) D.Add(i, D.T, 1), go[i] = D.e - 1;
	For (i, 1, n) {
		int opt = read();
		D.Add(D.S, Ref[i] = ++ tot, 1 + (opt == 2)); from[i] = D.e - 1;
		if (opt == 0) {
			int k = read(); V1.push_back(i);
			while (k --) D.Add(tot, read(), 1);
		} else if (opt == 1) {
			int l = read(), r = read(); V1.push_back(i);
			T.Connect(1, 1, m, l, r, tot);
		} else {
			int a = read(), b = read(), c = read();
			V3.push_back(i);
			D.Add(tot, a, 1);
			D.Add(tot, b, 1);
			D.Add(tot, c, 1);
		}
	}

	printf ("%d\n", D.Run());

	Get_Ans();

	For (i, 1, m) if (ans[i])
		printf ("%d %d\n", ans[i], i);

	return 0;

}