【hdu 5628】Clarke and math （Dirichlet卷积）

hdu 5628 Clarke and math

题意

Given f(i),1≤i≤n, calculate

\(\displaystyle g(i) = \sum_{i_1 \mid i} \sum_{i_2 \mid i_1} \sum_{i_3 \mid i_2} \cdots \sum_{i_k \mid i_{k-1}} f(i_k) \text{ mod } 1000000007 \quad (1 \le i \le n)\)

题解

Dirichlet convolution -wiki

别人的题解

恒等函数1(n)=1。

那么\(\sum_{i_k \mid i_{k-1}} f(i_k)\) 就是\(f(i_k)\)与\(1(\frac {i_{k-1}} {i_k})\) 的狄利克雷卷积

然后再和$ 1(\frac {i_{k-2}} {i_{k-1}})$卷积。。。

再用的狄利克雷卷积满足交换律，所以就是 \(g(i)=\sum_{j|i}f(j)1^k\)

代码

const int N=201000;
int n,k;
ll tmp[N],x[N],f[N],ans[N];
void dirichlet(ll *ans, ll *x){
	mem(tmp,0);
	rep(i,1,sqrt(n)+1){
		tmp[i*i]+=ans[i]*x[i]%mod;
		rep(j,i+1,n/i+1){
			tmp[i*j]+=ans[i]*x[j]%mod;
			tmp[i*j]+=ans[j]*x[i]%mod;
		}
	}
	rep(i,1,n+1)
		ans[i]=tmp[i]%mod;
}
void qpow(){
	for(;k;k>>=1,dirichlet(x, x))
		if(k&1) dirichlet(ans, x);
}
int main() {
	int t;
	sf(t);
	while(t--){
		sf(n);sf(k);
		rep(i,1,n+1){
			sfl(f[i]);
			ans[i]=0;
			x[i]=1;
		}
		ans[1]=1;
		qpow();
		dirichlet(ans, f);
		rep(i,1,n+1)printf("%lld%c",ans[i],i==n?'\n':' ');
	}
	return 0;
}