【XSY2733】Disembrangle DP

题目描述

　　有一个\(3\times n\)的网格，一些格子里已经有棋子了，一些格子里还没有。

　　每次你可以选择往一个没有棋子的格子里放一个棋子，但要满足这个格子上下两个格子都有棋子或左右两个格子都有棋子。

　　你的任务是把这个网格填满。问你有几种填法。

　　\(n\leq 2000\)

题解

　　先判无解。

　　如果四个角没有棋子或在第\(1/3\)行有两个相邻的空格就无解。

　　然后DP。

　　可以对于每个连通块分开DP，然后把结果合并。

　　可以看出一个连通块只可能通过第\(2\)行相邻。

　　设\(f_{i,j,k}\)为前面\(i\)行，\((2,i)\)这个格子在前面所有空格中是第\(j\)个放的，\((2,i+1)\)是否需要在\((2,i)\)之前放 的方案数。

　　转移：枚举\((2,i+1)\)是在什么时候放的。

　　设\(c\)为第\(i+1\)列两边的空格数。

　　\(f_{i,j,1}\rightarrow f_{i+1,l,0}(l\leq j)\)，上下都要先放：\(A(l-1,c)\)

　　\(f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,1}(l>j)\)，上下有一个后放：\(c(l-1)A(cnt-l,c-1)\)，两个都后放：\(A(cnt-l,2)\)

　　$f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,0} \(，上下都要先放：\)A(l-1,c)$

　　其中\(A(n,m)\)为排列数。

　　可以用前缀和优化DP。

　　还要考虑\((2,i)\)不是空格但\((1,i),(3,i)\)是空格的情况。

　　时间复杂度：\(O(n^2)\)

代码

$f_{i,j,1}\rightarrow f_{i+1,l,0}(l\leq j)$，上下要先放：$A(l-1,c)$

$f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,1}(l>j)$，上下至少有一个没放：$c(l-1)A(cnt-l,c-1)$

$f_{i,j,0}\rightarrow f_{i+1,l,0}$，上下先放：$A(l-1,c)$