又谈F分布

今天看到一篇不错的博文，有感，记录下来，相对来说讲到了本质，也很容易理解。https://www.cnblogs.com/think-and-do/p/6509239.html

首先，老生常谈，还是那三大分布

T，卡方，F，（正态不是三大）

T是厚尾的，对小样本量做检验，对于样本难获得的领域很有用，比如医药，生物，前面写过一个关于T检验的记录。

卡方检验用来做独立性检验和符合某个标准分布（正态检验）

n个相互独立的随机变量服从正态分布，他们的平方和构成一个新的随机变量，服从卡方分布，n为自由度。

检查实际结果与期望结果之间何时存在显著差异。
1、检验拟合优度：也就是说可以检验一组给定数据与指定分布的吻合程度。如：用它检验抽奖机收益的观察频数与我们所期望的吻合程度。     

2、检验两个变量的独立性：通过这个方法检查变量之间是否存在某种关系。

F分布用来做方差分析，具体见前面的博文

但是重点是要说这篇博文的精妙之处。

有三个不同学校的学生英语考试成绩不同，原因是什么？为什么不用T检验

如果使用T检验，需要3次，如果研究10个学校，需要45个，组合次数多，降低可靠程度，如果我们做两次检验，每次都为0.05的显著性水平，那么不犯Ⅰ型错误的概率就变为0.95×0.95＝0.90。此时犯Ⅰ型错误的概率则为1-0.90＝0.10，即至少犯一次Ⅰ型错误的概率翻了一倍。若做10次检验的话，至少犯一次Ⅰ型错误的概率将上升到0.40（1-0.952），而10次检验结论中都正确的概率只有60%。所以说采用Z检验或t检验随着均数个数的增加，其组合次数增多，从而降低了统计推论可靠性的概率，增大了犯错误的概率。

完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，将全部实验对象分配到g个处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义。

【例子】

某医生为研究一种四类降糖新药的疗效，以统一的纳入标准和排除标准选择了60名2型糖尿病患者，按完全随机设计方案将患者分为三组进行双盲临床试验。其中，降糖新药高剂量组21人、低剂量组19人、对照组20人。对照组服用公认的降糖药物，治疗4周后测得其餐后2小时血糖的下降值(mmol/L)，结果如表9-1所示。问治疗4周后，餐后2小时血糖下降值的三组总体平均水平是否不同？

方差分析的基本思想：总变异分解为多个部分，每个部分由某因素的作用来解释，通过将某因素所致的变异与随机误差比较，从而推断该因素对测定结果有无影响。变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与自由度有关，将各部分离均差平方和除以自由度，比值称为均方差MS。

如果各组样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反应随机误差作用的大小。

组间均方与组内均方的比值称为F统计量：

F值接近于1，就没有理由拒绝H0（来自相同总体），反之，F值越大，拒绝H0的理由越充分。当H0成立时，F统计量服从F分布，自由度v1和v2，Fv1,v2

v1=组间自由度 = g-1 = 3-1 v2=组内自由度=N-g= 60-3 = 57，查F分布表得到P<0.01，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1有统计学意义，可认为2型糖尿病患者治疗4周，其餐后2小时血糖的总体平均水平不全相同。

方差分析的结果若拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均数两两间都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，要进行多个均数间的多重比较（卡方检验）。当g =2时，方差分析的结果与两样本均数比较的t 检验等价 t=sqrt(F)。

上例中的自由度计算非常具有代表意义，这是最简单和基础的知识，但是很重要，因此再记录一遍，加深印象。